[MÚSICA] [MÚSICA] Vamos a ver en general cómo le hacemos para completar un trinomio cuadrado perfecto. Recordemos que el cuadrado de x más a pues es el cuadrado de x más 2 veces a por x más el cuadrado de a. Así que si tenemos un trinomio incompleto x cuadrada más bx, y queremos completarlo para que sea un trinomio cuadrado perfecto, lo que hacemos es identificar al coeficiente de x, o sea a la b con 2a, sí, pensamos que b es 2a. Entonces lo que nos falta para completar el cuadrado es a cuadrada, pero si b es 2a entonces a es b sobre 2. Así que lo que falta para completar el cuadrado perfecto es la mitad de b al cuadrado. Podemos comprobar que x más b sobre 2 al cuadrado pues es x cuadrada más 2 veces el primero por el segundo, 2 veces b sobre 2 por x más el cuadrado del segundo que es igual a x cuadrada, este 2 se cancela más bx más b sobre 2 al cuadrado. Para ver que funciona bien el método, lo que vamos a hacer es resolver algunas ecuaciones de las que ya habíamos resuelto por factorización, para ver que este método pues realmente como es de esperarse obtiene el mismo resultado. Entonces pensemos en la ecuación x cuadrada menos 14x más 48 igual a 0. Lo que hacemos primero es pasar el 48 del otro lado, sí, aquí estaba con más entonces pasa con menos. Después lo que hago es fijarme en el término de en medio, realmente no importa si considero el signo o no, porque finalmente lo elevo al cuadrado. Entonces el término del medio lo divido entre 2 y lo elevo al cuadrado, 14 entre 2 es 7 al cuadrado es 49. Sumo 49 de los 2 lados. Del lado izquierdo me quedó el binomio, ahora sí me fijo en el signo, x menos 7 al cuadrado. Y del lado derecho simplemente hago la suma y saco raíz cuadrada de los 2 lados. La raíz cuadrada de x menos 7 al cuadrado es el valor absoluto de x menos 7, que acuérdense la raíz cuadrada de x menos 7 al cuadrado, no es x menos 7, sino es el valor absoluto de x menos 7. Del lado derecho la raíz cuadrada de 1 es 1. [AUDIO EN BLANCO] Y seguimos, vamos a la recta. Tengo un número que se llama x menos 7, cuyo valor absoluto es 1, es decir cuya distancia al 0 es 1. Entonces ese número x menos 7 puede que sea el 1 o puede que sea el menos 1, cualquiera de los 2 su distancia a 0 es 1, y eso es lo que me da origen a las 2 ecuaciones lineales que tengo aquí. De la primera ecuación obtengo x igual a 8 y de la segunda x igual a 6, que son los mismos resultados que había obtenido anteriormente para esta, para esta ecuación. Vamos a ver otros ejemplos. Aquí la única manera de apropiarse de la técnica es hacer bastantes ejercicios. Entonces vamos a hacer uno más. Quiero resolver x cuadrada más 5x más 1 igual a 0. Aquí por ejemplo no puedo intentar factorización porque no hay 2 números enteros que multiplicados den 1 y sumados den 5, entonces no puedo hacerlo por factorización entera, entonces lo que hago es pasar del lado derecho el 1 con signo cambiado, después del lado izquierdo tengo que sumar algo que lo voy a sumar también del lado derecho para completar el cuadrado. La regla es el coeficiente lo divido entre 2 y lo elevo al cuadrado. Aquí el problema es que 5 no es par, digamos, entonces pues lo tengo que hacer como fracción, la mitad de 5 es 5 medios al cuadrado y eso mismo lo sumo del lado derecho. Está bien, entonces ahora sí del lado izquierdo lo que obtengo es x más 5 medios al cuadrado, podemos verificar que efectivamente x cuadrada más el doble producto de x por 5 medios es 5x, y el cuadrado de 5 medios es 5 medios al cuadrado. Del lado derecho obtengo menos 1 + 25 cuartos, estos son cuartos, aquí tengo menos 4 más 25 igual a 21 cuartos. Saco raíz cuadrada de ambos lados, en el lado izquierdo me queda x más 5 medios en valor absoluto y del lado derecho me queda raíz de 21 cuartos. Que es lo mismo que raíz de 21, el 4 sí tiene raíz cuadrada. Y ahora nuevamente lo que tengo es en la recta, tengo la raíz cuadrada de 21 medios y menos la raíz de 21 medios. Yo estoy buscando un número x más 5 medios cuyo valor absoluto es igual a raíz de 21 medios, quiere decir que puede ser cualquiera de estos 2. Sí, yo obtengo entonces x más 5 medios igual a raíz de 21 medios o x más 5 medios igual a menos raíz de 21 medios. Aquí obtengo que x es igual a raíz de 21 medios menos 5 medios igual a raíz de 21 menos 5 sobre 2, y de este lado obtengo que x es igual a menos raíz de 21 menos 5 entre 2. Estas son las 2 soluciones de esta ecuación. Fíjense como ya no fueron soluciones enteras, es más tampoco fueron quebrados, no son cocientes de enteros sino ya son números reales más complicados. Sin embargo sí hubo solución. Con GeoLab voy a dibujar esta parábola para ver los puntos donde se corta. [AUDIO EN BLANCO] [AUDIO EN BLANCO] [AUDIO EN BLANCO] [AUDIO EN BLANCO] Esto que tengo aquí es la parábola, dada por la ecuación y = a x cuadrada + 5x + 1, y lo que estoy encontrando son, estos dos valores, uno cercano a- 5 y el otro cercano a 0. Si hacemos con calculadora estos numeros de aquí, si pongo 21 raíz cuadrada menos 5 igual, y todo eso lo divido Entre 2, igual obtengo -0.20, Redondeado es -0.21 con dos decimales, [AUDIO EN BLANCO] Esto es aproximadamente, este de aquí, que corresponde a este punto. El otro punto es 21, saco raíz, le cambio de signo para tener- raíz de 21. eso menos 5 igual -9.58 entre 2 y obtengo -4.79 entonces esto es aproximadamente. -4.79 y corresponde a este puntito ¿no?, está cerca del, cerca del -5. Vamos a resolver otra ecuación, en la que ahora hay un coeficiente distinto de 1, en el término x cuadrada. Lo que hacemos primero, igual que antes, pasamos el 3 del otro lado, de manera que nos queda 2x cuadrada + 6x = -3. Ahora lo que vamos hacer es dividir todo entre 2, para que x cuadrada tenga coeficiente 1. Entonces si divido todo entre 2 me queda x cuadrada + 3x = -3 medios, si está bien o no importa que este no sea par, de todas maneras lo divido entre 2 y, si pues me queda 3 medios. Lo mismo hubiera pasado si este 6 no es par pues aquí me va a quedar una fracción. Ahora, del lado izquierdo ya puedo completar el cuadrado, es x cuadrada + 3x + la mitad de 3 al cuadrado, 3 medios al cuadrado y del lado derecho que no se me olvide sumar esos 3 medios al cuadrado que son 9 cuartos. En el lado izquierdo tengo x + 3 medios al cuadrado, y del lado derecho hago esta suma, y me queda 2 por 3 son -6 + 9 igual a 3 cuartos, y saco raíz cuadrada de los dos lados. De este lado me queda recuerden x + 3 medios y del lado derecho en valor absoluto, del lado derecho me queda raíz de 3 cuartos, que es lo mismo que raíz de 3 sobre 2. Recordamos entonces que tengo el 0 aquí. Por aquí anda raíz de 3 sobre 2, y por aqui anda el -raíz de 3 Sobre 2, y entonces x + 3 medios, puede ser cualquiera de estos 2 números, porque ambos distan de 0, lo mismo distan de 0 raíz de 3 medios, entonces esto me plantea dos ecuaciones de primer grado. x + 3 medios = raíz de 3 sobre 2, de donde x = raíz de 3 sobre 2 - 3 medios, y la otra es x + 3 medios = -raíz de 3 sobre 2, así que x es igual a -raíz de 3 sobre 2 menos 3 medios. Entonces estas son las 2 soluciones de esta ecuación. Fíjense que ya no son ni números enteros, ni fracciones. Ya aparecen números como raíz de 3 que son números irracionales. Y por último voy a ver qué pasa en este ejemplo, x cuadrada + x + 1 = 0. Si hacemos la misma técnica de las veces anteriores, paso el 1 del lado derecho cambiando de signo, del lado izquierdo tengo que sumar la mitad de 1 al cuadrado, la mitad de 1 este es el coeficiente de x, la mitad de 1 al cuadrado, lo sumo de los dos lados para que no se altere. Del lado izquierdo, esto el cuadrado de x + un medio, pero del lado derecho tengo -1 + un cuarto son -3 cuartos, y aquí estamos metidos en un problema porque no importa qué número x se me ocurra, le sumo un medio y lo elevo al cuadrado, esto es positivo o 0 si pongo x igual a menos un medio. Pero de este lado, tengo esto negativo, no hay manera de que elija yo una x tal que x + un medio al cuadrado sea un número negativo. Quiere decir que esta ecuación no tiene solución. Esa la podemos ver en el Geolab. Voy a ponerle. [AUDIO EN BLANCO] [AUDIO EN BLANCO] [AUDIO EN BLANCO] [AUDIO EN BLANCO] Esta es la gráfica de la ecuación y igual a x cuadrada + x + 1, que como pueden ver no corta al eje de las x, y por eso no hay solución a la ecuación x cuadrada + x + 1 = 0. [MÚSICA] [MÚSICA]
