[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] Após esse video, você será capaz de explicar a impossibilidade de atender a requisito de tempo de acomodação com controle proporcional. Considere a seguinte função de transferência: G de s é igual a 4 sobre s s mais 4 e o requisito de desempenho, tempo de acomodação para 5 por cento torno do valor final de no máximo 1 segundo. Para atender a esse requisito de desempenho, precisamos ter sigma maior ou igual a 3. Vamos representar esse requisito de desempenho no Plano s e traçar o Lugar Geométrico das Raízes da função de transferência. Note que, como os ramos do LGR não passam pela região que atende aos requisitos de desempenho, não conseguimos atender ao requisito apenas com o ganho k. O tempo de acomodação para 5 por cento do valor final será cerca de 1,5 segundo, já que sigma será 2, desde que usemos ganho para que os polos estejam trecho vertical do Lugar Geométrico das Raízes. É claro, que se o requisito do tempo de acomodação fosse de T s 5 por cento menor igual a 1,5 segundos ou T s de 5 por cento menor igual a 2 segundos, seríamos capazes de atendê-lo, mas nem sempre isso será possível só com o uso de controle proporcional. Vamos ver exemplo de requisitos conflitantes de overshoot de instante de pico. Vamos usar a mesma função de transferência malha aberta: G de s igual a 4 sobre s s mais 4 e os requisitos de desempenho são overshoot máximo de 5 por cento e instante de pico máximo de 1 segundo. Já temos o LGR do sistema. O requisito de 5 por cento de overshoot nos leva a Csi de 0,69 e a ângulo beta de 46 graus e o requisito de instante de pico de no máximo 1 segundo, nos leva a ômega d de no mínimo 3,14. Vamos representar esses dois requisitos no Plano s, junto com o LGR do sistema. Para atender o requisito de instante de pico o polo complexo deve ter parte imaginária maior que 3,14 e para atender o requisito de overshoot ele deve estar à baixo da linha com ângulo beta igual a 46 graus. Note que o LGR não passa pela região do Plano s que atende simultaneamente aos requisitos de desempenho, com simples ganho podemos atender apenas dos requisitos, mas não os dois ao mesmo tempo. Podemos calcular o ganho necessário para termos instante de pico de 1 segundo, a função malha fechada é: T de s igual a 4 k sobre s ao quadrado mais 4 s mais 4 k. Sigma é igual a 2 e ômega d precisa ser 3,14, então ômega n ao quadrado que é sigma ao quadrado mais ômega d ao quadrado precisa ser 13,86, então com ganho k de 3,47 atendemos ao nosso requisito de instante de pico. Como sigma é igual Csi vezes ômega n, chegamos a Csi igual a 0,54 e teremos overshoot de 13 por cento, bem acima de nosso requisito de 5 por cento. Também podemos calcular o ganho para obtermos overshoot de 5 por cento, como sigma é igual a 2 e Csi é igual a 0,69, precisamos ter ômega n igual a 2,9, ou seja, o ganho k seria de 2,1. Com Csi e ômega n calculamos o ômega d, que é aproximadamente 2,1 e o instante de pico será cerca de 1,5 segundo, bem acima do requisito de 1 segundo. Qualquer valor de ganho k maior do que 3,47, fará com que o sistema atenda ao requisito de instante de pico, mas ele não atenderá ao requisito de overshoot. Qualquer ganho menor do que 2,1 e maior que 0 fará com que o sistema atenda ao requisito de overshoot, mas ele não atenderá ao requisito de instante de pico. Para valores de k entre 2,1 e 3,47 o sistema não atenderá nenhum dos requisitos. É bastante comum que ao aumentarmos o ganho o sistema passe a responder mais rápido e fique menos amortecido, isso é, ao aumentarmos o ganho normalmente teremos tempos menores, mas overshoot maiores. Diminuindo o ganho, normalmente diminuímos o overshoot, mas aumentamos os tempos. Desse modo não é muito difícil nos depararmos com requisitos conflitantes de tempo, seja de subida, de acomodação ou de pico e de overshoot, uma vez que normalmente estamos interessados sistemas que respondem rápido e com pouco oscilação. Use o MATLAB e simule esse sistema com diferentes ganhos, você pode criar novo modelo Simulink ou pode simular o sistema malha fechada usando apenas a linha de comando do MATLAB. Dessa vez, acho que nem vale apena mostrar para você como fazer isso no MATLAB. Aqui estão as instruções que você vai precisar usar: G é igual a zpk colchetes 0 menos 4 4, k igual a 2.1, depois T é igual a feedback k vezes G vírgula 1 e step T. A função feedback cria a função de transferência malha fechada a partir da função de transferência malha aberta. O primeiro parâmetro é o que está na malha direta, ou seja, o ganho e a função de transferência malha aberta. E o segundo parâmetro é o que está na malha de realimentação. No nosso caso, ganho unitário, já que realimentamos exatamente o sinal de saída. Altere o valor de k para 3,47, lembre de usar ponto no MATLAB, crie novo sistema malha fechada e simule a resposta ao degrau novamente. E verifique que o requisito de instante de pico é satisfeito, mas o de overshoot não. E uma dica, você pode fazer isso tudo uma só linha. Experimente usar: k igual a 3.47 ponto e vírgula T igual a feedback k vezes G vírgula 1 ponto e vírgula step T. Agora ficou fácil simular o sistema malha fechada para diferentes valores de k, seta para cima altera o valor de k e enter, por exemplo, para k igual a 3 entre 2,1 e 3,47, você deve obter uma resposta ao degrau com overshoot de 10,8 por cento e instante de pico de 1,11 segundos. Agora, você já é capaz de explicar a impossibilidade de atender a requisito de tempo de acomodação, com controle proporcional. E é capaz também, de explicar a impossibilidade de atender requisitos conflitantes de velocidade de reposta e overshoot. No próximo video, você verá o efeito do acréscimo de 0 e polo no LGR.
