[MUSIQUE] Bonjour, le thème de ces deux vidéos est les sous-groupes transitifs et résolubles de, S p, pour p un nombre premier. Dans la vidéo précédente, Olivier vous a parlé du groupe affine, G A de, F p. Il vous a aussi énoncé les deux théorèmes, après lesquels on en avait, et il a préparé la démonstration de ces deux théorèmes en énonçant et en prouvant deux lemmes. Je vous rappelle l'énoncé du premier théorème qu'on va prouver dans deux minutes, donc qui décrit les sous-groupes résolubles et transitifs de, S p, et l'énoncé est le suivant. Tout sous-groupe transitif et résoluble de, S p, est conjugué à un sous-groupe du groupe affine, G A de, F p. C'est-à-dire qu'il est de la forme, thêta G thêta moins 1, pour G, un sous-groupe transitif de, G A de, F p, et thêta, une permutation. Alors on va prouver cela en deux étapes. Donc on a un groupe résoluble, G, on a une suite de compositions, qu'on va vouloir descendre, dans une première étape, et garder la propriété de transitivité, et ensuite on va vouloir remonter les informations qu'on a obtenues au bout, vers le groupe initial. Alors pour cela, les deux lemmes qu'on a démontrés la dernière fois. Donc le premier est le suivant. Soit G un sous-groupe transitif de, S p. Si on prend N, un sous-groupe distingué, de G, qui est non réduit à l'identité, alors N est aussi un sous-groupe transitif de, S p. Avant de vous énoncer le second lemme, je vous rappelle que on avait noté tau, la translation dans, F p, c'est-à-dire c'est l'application qui à x, associe x plus 1. Maintenant l'énoncé. Si on a sigma, un élément de S p, permutation qui vérifie, sigma tau sigma moins 1 appartient à G A de, F p. Alors sigma est lui-même un élément du groupe affine G A de, F P. Passons maintenant à la preuve du premier théorème. Soit G, un sous-groupe transitif et résoluble de, S p. On en prend une suite de compositions, donc G que l'on va aussi noter, G zéro, qui contient G1, qui contient G2, etc. jusqu'à G r, et G r est trivial. Donc dans cette suite de compositions, on demande à ce que G i soit distingué dans, G i moins 1, et le quotient, G i moins 1, sur G i est commutatif. Alors, première étape, on peut supposer que cardinal de, G r moins 1, est un entier premier. Alors pourquoi ça? C'est le sujet d'un exercice de la feuille de cette semaine. Maintenant, vraie première étape, on va, comme je vous le disais, descendre les propriétés sur cette suite de compositions, à savoir que l'on va prouver que le, G r moins 1, est transitif et cela va nous permettre d'expliciter thêta. Alors comment on fait ça? Donc G1 est non réduit à l'identité, et il est distingué dans G zéro. Il est non réduit à l'identité tout simplement parce que, G r moins 1, déjà, est non réduit à l'identité. Alors par le premier lemme, ça vous dit que G1 est aussi un sous-groupe transitif de, S p. Maintenant vous faites la même chose, si G2 ce n'est pas G r, alors G2 aussi est non réduit à l'identité, et vous appliquez encore le premier lemme, puisque G2 est distingué dans G1, et vous obtenez que G2 est aussi un sous-groupe transitif de, S p. Blablabla. Vous continuez jusqu'à, G r moins 1, et, G r moins 1, se trouve être, aussi un sous-groupe transitif de, S p. Alors ensuite, qu'est-ce qui se passe? Comme, G r moins 1, est transitif, P divise son cardinal. Et le cardinal de, G r moins 1, est premier. De ce fait, P est exactement le cardinal de, G r moins 1. Alors, G r moins 1, est juste donné, il est engendré par un p cycle qu'on va noter, X zéro, blablabla, X p moins 1. Et ce p cycle, on va le noter, tau prime. Maintenant, on prend thêta, l'élément qui envoie zéro sur X zéro, 1 sur X1 etc. jusqu'à, p moins 1 sur X p moins 1. Donc c'est une permutation de, S p. Et il se trouve qu'avec cette permutation-là on a, thêta moins 1 tau prime thêta, égale, tau. Donc tau est l'élément que je vous avais rappelé il y a deux minutes, c'est-à-dire la translation qui, à x, associe, x plus 1. Passons maintenant à la seconde étape de la preuve. On va commencer par conjuguer la suite de compositions précédentes de G par thêta moins 1. On va noter, pour tout i, G i prime, égale, thêta moins 1, G i, thêta. On obtient alors une suite de compositions pour, G zéro prime, qui est égal à, thêta moins 1 G thêta, alors celui-là va contenir G1 prime, qui contient G2 prime, etc. jusqu'à G r prime, qui est un groupe trivial. Vous notez aussi que, parce que vous aviez la relation, thêta moins 1 tau prime thêta, égale tau, G prime r moins 1, est le groupe engendré par l'élément tau, donc votre translation qui à x, associe, x plus 1. On veut maintenant remonter la propriété, être sous-groupe du groupe affine, G A de, F p. Donc cran par cran. Comment est-ce qu'on fait cela? D'abord, G prime r moins 1, est distingué dans, G prime r moins 2. Qu'est ce que cela vous dit? Cela vous dit que, si vous prenez sigma, un élément de, G prime de r moins 2, sigma tau sigma moins 1, est aussi un élément de, G prime de r moins 1, donc du groupe affine, G A de, F p. En particulier sigma, par application du second lemme, est alors un élément du groupe affine. Ce qui vous dit que, G prime r moins 2, est inclus dans le groupe affine. Ensuite, vous recommencez ce procédé, vous prenez, G prime de r moins 2, qui est distingué dans, G prime de r moins 3, ça vous dit que si vous prenez un élément sigma de, G prime de r moins 3, vous avez, sigma tau sigma moins 1, qui est dans, G prime de r moins 2 ; mais qui était un sous-groupe du groupe affine G A de, F p. Ce qui vous dit que, G prime de r moins 3, est aussi un sous-groupe de G A de, F p. Vous appliquez continuellement cela jusqu'à G zéro prime, qui est donc, thêta moins 1 G thêta. Et lui est un sous-groupe de G A de, F p. Et vous avez fini la preuve de votre théorème. Passons maintenant au second théorème. C'est une caractérisation des sous-groupes transitifs, et résolubles, de, S p, qu'Olivier va utiliser dans deux semaines, dans la vidéo, critères de résolubilité. Quel est son énoncé? Soit G un sous-groupe transitif de, S p. Alors G est résoluble, si et seulement si, tout élément, petit g de G, distinct de l'identité, admet au plus un point fixe. Alors, il y a un sens qui est facile, dans la preuve de ce théorème, c'est le sens direct. Si on prend G, qui est résoluble, alors par le théorème 1, vous savez qu'il existe une permutation, thêta de, Sp, telle que, thêta moins 1, G thêta, est un sous-groupe du groupe affine, G A de, F p. Alors ensuite vous prenez un élément petit g dans G qui fixe deux points, x et y, distincts, de l'ensemble, zéro, p moins 1. Qu'est-ce qui se passe? Alors, thêta moins 1, G thêta va fixer, thêta moins 1 x, et thêta moins 1 y, qui sont distincts aussi. Vous êtes maintenant ramenés à un petit calcul dans le groupe affine G A de, F p. Je vous laisse vérifier que la seule transformation affine qui fixe deux points distincts, est l'identité ; ça vous dit que, G, en particulier, est l'identité. Maintenant, pour la réciproque, il vous faut supposer que G est un sous-groupe transitif de, S p, dans lequel tout élément, distinct de l'identité, a au plus un point fixe. Alors c'est nettement plus délicat, et on va faire cela tranquillement, en plusieurs étapes. Première étape, on veut dire qu'il existe un élément de G, qui en fait n'a pas du tout de point fixe. Alors je vous rappelle que dans les feuilles d'exercices de la semaine cinq, vous avez regardé la stabilisateur d'un point x. Alors, Stab de x, c'est quoi? C'est l'ensemble des g dans G qui vérifient, g de x, égale x. L'hypothèse sur G nous dit en fait que, si on prend x et y, deux points distincts de, zéro, p moins 1, l'intersection du stabilisateur de x et du stabilisateur de y est réduite à l'identité. Cela nous permet d'écrire l'ensemble des éléments de G avec un unique point fixe, comme une union disjointe. L'union disjointe de, stabilisateur de x moins l'identité. Et c'est une union disjointe sur les x. Et on va chercher à dénombrer cet ensemble-là. Alors comment va-t-on procéder? G est un sous-groupe transitif de, S p. Par définition ça veut dire que, si on prend x et y dans, zéro, p moins 1, il existe un g dans G qui envoie x sur y. En particulier, le stabilisateur de y, est le conjugué du stabilisateur de x par, g moins 1. Et alors, ils ont tous mêmes cardinaux, ces stabilisateurs. Que l'ont va noter, m. Maintenant, le cardinal des g dans G, avec un unique point fixe, est égal à, p fois, m moins 1 ; et ce grâce à la réunion disjointe que vous avez écrite à la page précédente. Aussi, parce que vous avez fait vos exercices de la semaine cinq, vous savez que le cardinal de G est égal au cardinal de G x, fois le cardinal du stabilisateur de x, où x est un point qu'on a choisi parmi les, zéro, p moins 1. Alors, le cardinal de G x, quel est-il? Ce sont G x, ce sont les images de x par G. Comme G est transitif, c'est tout, zéro, p moins 1, ce cardinal est égal à P. De sorte que le cardinal de G est égal à, P fois m. Mais alors, vous savez que le cardinal des éléments de G qui ont un unique point fixe, union et identité, est égal à, 1 plus p fois, m moins 1. C'est strictement inférieur au cardinal de G. Et, en particulier, comme tous les autres sont sans point fixe, il existe un élément alfa, dans G, sans point fixe. Et même vous savez mieux, vous savez qu'il y en a, exactement, la différence des deux quantités différentes, donc il y en a, p moins 1. Il y a, p moins 1 éléments de G sans point fixe. Que va-t-on faire de cela? Alors, dans une seconde étape, on va monter que alfa est un p-cycle. Commençons par faire l'observation suivante. Toute puissance de alfa, distincte de l'identité, ne possède pas de point fixe. En effet, nous prenons une puissance, alfa k, qui posséderait un point fixe, x. On a, alfa k de x, égale x. Mais alors on a aussi, alfa k de, alfa de x, est égal à, alfa de, alfa k de x, et c'est aussi égal à alfa de x. Donc on a un second point fixe, alfa de x, distinct de x, et, par hypothèse sur votre groupe G, en fait, alfa à la puissance k est l'identité. Tirons à profit cette remarque. Écrivons la décomposition en cycles à supports disjoints de alfa. Donc alfa égal sigma 1, sigma 2, blablabla sigma r, où, sigma i, est un cycle de longueur, d i. où vous avez aussi ordonné les longueurs de vos cycles, d1 plus petit que d2, blablabla, plus petit que, d r. Maintenant, alfa à la puissance d1, a, au moins, un point fixe. Alors, par votre remarque précédente, alfa à la puissance d1 est l'identité. Maintenant, regardons, alfa à la puissance d1 c'est aussi sigma 1 à la puissance d1, blablabla, sigma r à la puissance d1. Et, si, sigma i, était un cycle de longueur, d i, strictement plus grande que d1, alors, sigma i, à la puissance d1, ne serait pas l'identité. Maintenant comme les sigma i, à la puissance d1 sont tous à supports disjoints, cela contredit le fait que, alfa à la puissance d1 est l'identité. Vous en déduisez quoi? Vous en déduisez que vous avez, d1 égale d2, blablabla, égale, d r. Maintenant, alfa n'a pas de point fixe. Alors cela veut dire que l'on a, somme des, d i, égale P. Comme les, d i, sont tous égaux, on a en fait, d1 fois r, égale P. Maintenant, comme P est premier et que d1 est strictement plus grand que 1, vous avez en fait, d1 égale P. Cela vous dit quoi? Cela vous dit que, alfa est un p-cycle, comme voulu. De ce fait, alfa au carré, alfa 3, jusqu'à alfa p moins 1, sont aussi des p-cycles. Et ils sont sans point fixe. De plus, par l'étape un, vous avez dénombré exactement, p moins 1 éléments sans point fixe. Ce sont ceux-là, que vous avez tous déterminés, ce sont les, alfa i, avec i entre 1, et p moins 1. Maintenant, dernière étape. On va finir la preuve de ce théorème. Et on va montrer notamment que, thêta moins 1, G thêta, est un sous-groupe du groupe affine G A de, F p ; pour une certaine permutation, thêta. Alors, que prendre pour thêta? Alors vous avez noté alfa, qui est x zéro, x1, bablabla, x, p moins 1. Donc vous prenez pour thêta, la permutation qui envoie zéro sur, X zéro, 1 sur X1, et, p moins 1, sur, X p moins 1. On alors, thêta moins 1, alfa thêta, égale tau. Prenons un élément, petit g de G, on veut montrer que, thêta moins 1, g2 thêta, est un élément du groupe affine, G A de, F p. Alors, faisons la remarque suivante, g de alfa, g moins 1, est sans point fixe. Et donc, c'est une puissance de alfa, alfa k, pour k entre 1 et p moins 1. En conjuguant la dernière relation par thêta moins 1, vous avez, thêta moins 1, g thêta, rond tau, rond thêta moins 1, g moins 1, thêta, égale tau à la puissance 4, c'est un élément du groupe affine, G A de, F p. Mais alors, par application de votre second lemme, thêta moins 1, g thêta, est lui-même un élément du groupe affine, G A de, F p. Cela vous dit que, thêta moins 1, grand G thêta, est un sous-groupe du groupe affine, G A de, F p. Et G est résoluble. Voilà votre second théorème est prouvé. À présent on a les deux critères historiques de Galois dans notre besace, et Olivier va pouvoir les utiliser d'ici deux semaines. Merci pour votre attention, et à bientôt.
