Bonjour ou plutôt re bonjour. Donc, aujourd'hui je vais vous parler d'une notion absolument fondamentale qui est la notion d'extension de corps. Donc la semaine dernière Olivier vous a parlé de généralités sur les polynômes, généralités, généralisation de la notion de polynôme, généralisation aux polynômes à coefficients dans un corps quelconque. Alors ici, de quoi parle-t-on? On va parler d'extension de corps grand K sur petit k, qui est tout simplement un couple grand K petit k formé de 2 corps, petit k étant contenu dans grand K, et où on demande simplement que les opérations additions et multiplications de petit k soient compatibles à celles de grand K. Alors pour nous familiariser avec cette notion, donnons des exemples, dans un premier temps, là on peut d'abord penser à R sur Q, le corps des réels qui contient le corps des rationnels, ou peut-être de façon plus familière à C sur R, le corps des nombres complexes qui contient le corps des nombres rationnels. Alors donnons un autre exemple de nature un petit peu plus arithmétique, je veux parler de Q de racine de 2, l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients rationnels, de 1 et de racine de 2. Alors il faut donner quand même quelques explications. Pourquoi Q de racine de 2 est-il un corps? Eh bien tout simplement parce que, lorsque vous calculez l'inverse de a plus b racine de 2 dans C, vous trouvez cette jolie formule qui vous montre certainement que c'est une combinaison linéaire à coefficients rationnels de 1 et de racine de 2. Alors pour nous, l'observation qui va être absolument fondamentale, c'est le fait que, étant donné une extension de corps grand K sur petit k, grand K est naturellement muni d'une structure de petit k espace vectoriel. Alors on ne doit pas avoir peur de cette notion parce qu'en fait on la connait dans un cas particulier. Tout simplement vous regardez C sur R, vous savez bien que C est un R espace vectoriel. Vous en connaissez la dimension, c'est 2, C est un plan vectoriel. Alors si vous n'êtes pas familiers avec cette notion d'espace vectoriel sur un corps quelconque, je vous invite à regarder une vidéo qui va être faite par Tony et Olivier. Alors on va introduire maintenant une seconde notion qui va être très très utile pour nous, que je vais introduire dans un cas particulier pour la comprendre dans un premier temps. Cette notion, c'est la notion de nombres complexes algébriques, on devrait dire algébriques sur Q, mais en général on parle de nombres complexes algébriques. Alors qu'est-ce que c'est? Un nombre complexe est dit algébrique lorsqu'il est racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels. Alors donnons quelques exemples. Alors évidemment tous les nombres rationnels lambda, disons, sont des nombres algébriques, et plus généralement leurs racines n-ièmes complexes sont des nombres algébriques, tout simplement parce qu'elles sont racines du polynôme X n moins lambda qui est bien un polynôme à coefficients rationnels. Alors qu'est-ce qu'on en déduit? On en déduit par exemple que i, qui est la racine de moins 1 comme vous le savez, une racine de moins 1 en tout cas, ou exponentielle 2 i pi sur n, exponentielle de 2 i k pi sur n où k est un entier, sont des nombres algébriques. Alors avec un peu plus d'efforts, on en déduit que le cosinus ou le sinus de 2 k pi sur n est un nombre algébrique pour n'importe quelles valeurs de k et n, car ici k n'est pas un corps, c'est un nombre entier. Alors vous avez des nombres algébriques. Est-ce qu'on en a beaucoup? Alors on en a une infinité, puisque de toute façon tous les nombres rationnels sont des nombres algébriques, mais, dans un sens que je vous laisse imaginer, si vous tirez au hasard un nombre complexe, eh bien la probabilité qu'il soit un nombre algébrique est tout simplement nulle. Alors pourquoi? On détaillera ça en exercices, vous pourrez en discuter entre vous dans le forum. Eh bien pourquoi? Parce qu'on se convainc, avec un petit peu de difficultés mais on arrive à se convaincre, qu'on peut numéroter un par un tous les nombres algébriques, z 0, z 1, z 2, z n. Alors ça, ça entraîne que toute probabilité raisonnable de l'ensemble de ces nombres algébriques est nulle. Alors vous avez des nombres algébriques, finalement vous n'en avez pas beaucoup, mais donc vous en avez d'autres, là vous allez en avoir beaucoup, ce sont les nombres dits transcendants, ce sont les nombres qui ne sont pas racines d'un polynôme non nul à coefficients rationnels. Alors des nombres transcendants il y en a beaucoup, pourtant montrer sur un exemple concret qu'un nombre est transcendant est un problème souvent très difficile, je vous donne 2 exemples célèbres qui ont donné beaucoup de fil à retordre et qui ont été résolus auXIXe siècle : le premier, c'est que e, la base du logarithme népérien, est bien un nombre transcendant comme l'a montré Charles Hermite, et puis pi eh bien lui aussi est bien un nombre transcendant, comme l'a montré Lindermann 10 ans après en utilisant des techniques analogues, avec une version un peu plus sophistiquée. Alors la transcendance de pi a fait beaucoup de bruit parce que, comme vous le verrez également en exercices, ça montre que la quadrature du cercle est un problème impossible, c'est un problème qui avait résisté aux mathématiciens pendant quand même plus de 2 000 ans. Alors pour aller un peu plus loin et pour regarder peut-être des problèmes beaucoup plus modernes, regardons ce qui se passe pour une série de nombres, une suite de nombres devrait-on dire, à savoir les valeurs de la fonction zêta aux entiers. Alors la fonction zêta est donnée par la formule qui est ici, c'est à tout s plus grand que 1 ou s complexe de partie réelle plus grande que 1, vous associez la somme de 1 l'infini des n puissance moins s. Alors on vous a donné son graphe ici pour que vous voyiez un peu à quoi ça ressemble. Alors quand vous calculez zêta de 2 k, zêta d'un nombre pair, disons positif, vous trouvez que c'est un multiple rationnel de pi puissance de k. Alors vous trouvez, c'est un bien grand mot parce que c'est surtout Euler qui a trouvé ça, c'est un magnifique résultat, c'est de très très belles mathématiques. Alors comme on sait que pi est transcendant, c'est pas très difficile de deviner que toute puissance entière de pi est transcendant et donc on déduit que les valeurs de zêta aux entiers pairs positifs sont des nombres transcendants. Alors qu'est-ce qui se passe aux valeurs impaires? Eh bien aux valeurs impaires, on sait pas grand chose finalement. En 1978, Apéry a montré que zêta de 3 était un nombre non pas transcendant mais irrationnel. Puis, en 2000, Tanguy Rivoal a démontré, c'est un véritable tour de force, un très très beau morceau de mathématiques, que parmi toutes les valeurs de zêta aux entiers impairs positifs, il y en avait une infinité qui étaient irrationnels, j'ai pas dit transcendants. Alors en fait on conjecture, pour des raisons profondes, que ces valeurs devraient être transcendantes, mais on a pas grande idée de comment faire pour le démontrer, c'est un sujet de recherche extrêmement actif, ce qui vous démontre bien la difficulté de ce genre de problèmes. Je vous remercie d'avoir suivi cette vidéo, et je vous invite à suivre une seconde vidéo où on va aller un peu plus loin dans la définition des extensions de corps, et peut-être un peu la technique des extractions de corps, qui nous sera absolument indispensable pour la suite. Merci et à bientôt.
