Bonjour. Cette semaine, dans une série de vidéos, je vais donc vous expliquer la correspondance de Galois qui est un dictionnaire donc entre le monde des corps, d'une part, et le monde des groupes, d'autre part. Alors, ce sont des choses qu'avait très très bien compris Évariste Galois, mais ici, je vais essentiellement utiliser l'approche d'Emil Artin. Pour cela, je vais vous démontrer aujourd'hui, le lemme d'Artin qui en fait permet de démontrer la moitié de la correspondance de Galois. En passant, on va fixer quelques notations qu'on va utiliser tout au long de cette vidéo. Alors, grand K, elle va désigner comme d'habitude un corps qu'on va supposer caractéristique nulle. Et cette semaine, dans cette première vidéo, je vais désigner par G, un sous-groupe fini du groupe des automorphismes de corps de K, c'est-à-dire des bijections de K qui respectent la structure, somme, produit et tel que G1 égal 1. Et puis, je vais définir k comme étant le corps des invariants de grand K sous G, l'ensemble des éléments de grand K qui sont fixés par tous les éléments de grand G. Alors, regardons un peu comment non seulement agit sur le corps K, mais comment il peut agir de façon très naturelle sur l'anneau des polynômes à coefficient dans K. Alors on n'a pas tellement le choix pour définir cette action. J'ai appliqué un polynôme somme de ai Xi, c'est simplement somme des G de ai Xi, on le fait agir uniquement sur les coefficients. Alors, juste avec cette formule, on voit que les invariants, les polynômes invariants, c'est simplement les polynômes à coefficient dans petit k le corps des éléments qui sont fixés par G. Alors, cette action a des propriétés de compatibilité avec les opérations sur les polynômes, elle respecte le produit et la somme comme vous le voyez sur cette formule. Elle respecte le produit et la somme, en particulier l'action de G sur un produit d'un facteur linéaire grand X moins petit x par Q, c'est X moins g de x fois g de Q. Comme on sait que x, un élément de grand K et racine de P, c'est seulement s'il s'écrit x moins i de x fois Q, si et seulement s'il divise P. On en déduit que x est racine de P si et seulement si g de x est racine de g appliqué à P de g P. Avant de vous donner l'énoncé du lemme d'Artin, je voudrais vous donner un énoncé très commode, l'énoncé dit de moyenne multiplicative. Donc, les notations sont comme au début, G est un groupe fini d'automorphisme d'un corps grand K donné et pour tout X appartenant à grand K, je forme le polynôme P de X qui est le produit des facteurs linéaires X moins g de x ou petit g décrit le groupe grand G. Alors, j'affirme que ce polynôme est un coefficient dans le corps petit k et pas seulement dans le corps grand K, dans le donc, le corps petit k des invariants du corps grand K. Le corollaire de ça, c'est que X est un élément qui est algébrique sur petit k et mieux, qu'il est de degré inférieur au cardinal de grand G. Alors, comment on prouve ça? Eh bien, on calcule l'action de P sous un élément disons arbitraire petit h de grand G. Comme l'action respecte le produit, on déduit que h P, c'est le produit des H appliqué au X moins g de x. Donc, par définition, c'est le produit sur G des X moins hg de x. Et puis là, évidemment, vous faites le changement de variable, g prime égal hg qui est visiblement bijectif et vous trouvez que ça fait le produit sur ce g prime dx moins g prime de x. g prime, c'est une variable. C'est une variable muette, comme on dit, c'est donc égal au polynôme P. On a donc h P égal P pour tout h. C'est donc que P est un polynôme invariant sous G, c'est donc un polynôme à coefficient dans petit k. Maintenant, dans grand P, il y a le facteur linéaire grand X moins petit x, c'est donc grand P annule petit x, ce qui prouve que petit x est algébrique sur petit k. Et comme grand P est de degré, le cardinal de G, c'est bien que petit x est de degré inférieur ou égal à cardinal de G. Alors, à titre d'exercice, vous pouvez généraliser à n'importe quel type de moyenne dans un sens que vous préciserez cet énoncé. Alors, je suis en mesure maintenant non seulement d'énoncer le lemme d'Artin, mais le prouver. Alors commençons quand même par l'énoncé. Donc, on se donne un groupe grand G comme au début, un groupe fini d'automorphisme d'un corps grand K, et je pose K égal, K expose en G le sous-corps de grand K des invariants de grand K. Alors, j'affirme trois choses. La première, c'est que l'extension grand K sur petit k est algébrique et que les conjugués de n'importe quel élément x appartenant à grand K dans un corps algébriquement clos contenant grand K, disons, sont les g de x pour g décrivant grand G. Ça veut dire deux choses. Ça veut dire que tous les g de x sont des conjugués, mais ça veut aussi dire que tout conjugué de la forme g de x. Donc, il y a deux choses à montrer. En particulier, g, ce sont des automorphismes de grand K, donc g de x appartient à grand K, ça entraîne que tous ces conjugués sont des éléments de grand K. Le deuxième point, c'est que l'extension grand K sur petit k est finie, pas seulement algébrique, de degré cardinal de G exactement. Et le troisième point, c'est que le groupe grand G est égal au groupe automorphisme grand K indice petit k des automorphismes k-linéaires de grand K, des automorphismes de grand K qui laissent le corps petit k fixe. C'est ce qu'on appellera bientôt le groupe de Galois de l'extension grand K sur petit k. Alors commençons par le premier point. On se donne un élément petit x appartenant à grand K et on regarde le polynôme moyenné de toute à l'heure, le produit des X moins g de x. Alors, on a déjà remarqué que c'est un annulateur de petit x à coefficient dans petit k. Eh bien, comme annulateur de petit x à coefficient dans petit k, il est divisible par le polynôme minimal de X. Grand P est évidemment scindé puisque ses racines sont les g de x, c'est un produit de facteur linéaire. On en déduit que le polynôme minimal lui-même est scindé dans K. Du coup, l'ensemble de tous les conjugués de X qui, par définition, sont les racines du polynôme minimal, et compte tenu dans l'ensemble de toutes les racines de P, eh bien, qui sont exactement les g de x quand g décrit G, qui sont des éléments de grand K. Ainsi, on a démontré que tout conjugué de X et de la forme g de x, comme j'ai annoncé, c'est la moitié de ce qui nous fallait. Mais on a démontré un tout petit peu plus, c'est que tous les éléments de grand K sont de degré inférieur ou égal à cardinal de G tout simplement parce que grand P, notre annulateur est de cardinal, est de degré pardon, cardinal de G. Pour finir la preuve de ce premier point, je dois réciproquement montrer que tout élément de la forme g de x est bien conjugué de petit x. Donnons-nous un élément petit g, g de x, on sait que c'est une racine de g appliquée au polynôme minimal, mais comme le polynôme minimal est coefficient dans petit k qui est précisément le corps des invariants, g appliqué au polynôme minimal est égal au polynôme minimal. Ainsi, g de x est une racine du polynôme minimal, donc par définition, un conjugué de x. Ce qui nous donne le point un. Pour démontrer le second point, je vais démontrer un lemme assez simple, mais qui est crucial ici. Alors, quel est-il? Alors, ici, on se donne grand K sur petit k, une extension algébrique, de corps, de caractéristique nulle, et je suppose qu'il existe un entier naturel petit n tel que le degré de tous les éléments de grand K est majoré par n. Je suppose que le degré de tous les éléments est borné par cet n. Alors, j'affirme que dans ces conditions, grand K sur petit k est non seulement une extension algébrique, mais une extension finie et qu'en plus, son degré est inférieur ou égal à n. Alors comment on fait ça? Eh bien, comme les degrés sont bornés, je peux considérer un élément petit x de grand K qui est de degré maximal. On sait que ce degré va être inférieur ou égal à n. Et je vais montrer que x est un élément primitif de l'extension grand K sur petit k. Alors, pour ça, je prend un élément au hasard, y appartenant à grand K et je regarde le corps grand L égal k de x, y qui est sous-corps de grand K. Et moi, j'aimerais montrer que k de x, y, en fait, c'est k de x. Alors, évidemment, k de x, y est de degré fini sur k puisque x et y sont de degrés finis sur k. Comme on est en caractéristique nulle, le théorème de l'élément primitif me dit qu'il existe un élément primitif que j'appelle petit z. Maintenant, k de x, il est inclus dans k de z puisque k de z, c'est k de x, y. Mais le degré de x est maximal. Eh bien, la seule solution, c'est que k de x soit égal à k de z. De cela, on déduit que y qui est un visiblement un élément de k de x, y, mais k de x, y, c'est k de z, y appartient donc à k de z qui est égal à k de x. Donc, y appartient à k de x, exactement ce qu'on voulait puisque y est arbitraire. Alors, si j'applique ce lemme à la situation du lemme d'Artin, on déduit qu'il existe un élément primitif, disons petit x, grand K égal k de x, et que l'extension grand K sur petit k est plus petite que cardinal de G évidemment puisque x est un élément primitif, son degré est plus petit que cardinal de G par hypothèse. Ça nous donne le point deux. Pour finir la preuve du lemme d'Artin, je m'intéresse donc au groupe g prime des automorphismes de k qui sont petit k linéaires qui laissent tous les éléments du corps petit k invariant. Soit g prime, un élément de grand G prime. Alors, par quoi est déterminé G prime? Eh bien, g prime, on sait qu'il fixe tous les éléments de petit k. D'autre part, on sait que comme petit x est un élément primitif, g prime va être déterminé par uniquement l'image de petit x. G prime de x, c'est, comme on l'a déjà remarqué, comme l'est écrit ici, un conjugué de petit x. On en déduit que d'une part, on a une application de G prime vers l'ensemble des conjugués de petit x, qui à g prime, associe la valeur g prime de x. Et comme cette valeur g prime de x détermine uniquement G prime, on en déduit que cette application est injective. Qu'en déduit-on? Eh bien, on déduit que le cardinal de G prime est plus petit que le cardinal des conjugués de x. Le membre de gauche a un cardinal plus petit que le cardinal du membre de droit puisque l'application entre les deux est injective. Maintenant, si on se souvient que le cardinal de l'ensemble des conjugués de x est le degré de l'extension puisque x est un élément primitif, j'en déduis que le cardinal de G prime est inférieur ou égal au degré de l'extension grand K sur petit k. Alors, on a presque fini parce que petit k étant le corps des invariants, le groupe grand G est évidemment inclus dans G prime. En effet, tout élément de G laisse évidemment le corps petit k invariant et G prime, c'est l'ensemble des automorphismes k-linéaires de grand K. On en déduit certainement que le cardinal de G est inférieur ou égal au cardinal de G prime dont on sait que il est inférieur ou égal au degré de l'extension, d'après ce qu'on vient de voir. Mais d'autre part, nous savons que le degré de l'extension est inférieur ou égal au cardinal de G, d'après le point deux. On déduit que dans l'inégalité, cardinal de G inférieur ou égal cardinal G prime, inférieur ou égal à degré de l'extension, on a des égalités partout et que donc, G égal G prime qui est le groupe des automorphismes k-linéaires de grand K et que le cardinal de G est le degré de l'extension, c'est le point trois du lemme d'Artin. Nous avons démontré le lemme d'Artin. Je vous remercie d'avoir suivi cette séance. Ça va nous donner la moitié de la correspondance de Galois comme vous allez le voir lors de la prochaine vidéo. Merci.
