Bonjour. Dans cette session, nous allons définir le polynôme minimal d'un élément petit x algébrique sur un corps k. C'est un polynôme à coefficients dans k, unitaire, dont x est racine et de degré minimal pour ces propriétés. Ce polynôme est irréductible, donc en caractéristique 0, il est à racines simples, et ces racines sont appelées les conjuguées de x. Ce sont ces conjuguées que le groupe de Galois va permuter. Soit donc k un corps, x un élément d'une extension de k, si x est algébrique sur k, il existe par définition un polynôme P à coefficients dans k, non nul, tel que P de x égal 0. On peut donc donner la définition suivante : l'unique polynôme P à coefficients dans k, unitaire, de degré minimal vérifiant P de x égal 0, s'appelle le polynôme minimal de x sur k. On le note P indice min x. Bien que le corps k n'apparaisse pas dans cette notation, il est très important : le polynôme minimal dépend du corps petit k comme on le verra plus tard sur quelques exemples. Une remarque fondamentale est que ce polynôme est unique. En effet, si Q en est un autre, il est de même degré que P, et le polynôme P moins Q est alors un polynôme de degré strictement inférieur au degré de P, puisque P et Q sont tous les deux unitaires, et x en est racine. Par définition de P, il est donc nul, donc P égal Q. On a bien montré l'unicité du polynôme minimal. Alors passons maintenant à quelques exemples de polynômes minimaux, que nous présenterons sans donner de preuve. Certains sont faciles, d'autres sont plus difficiles. Considérons le nombre réel racine de 2, alors, il n'est pas difficile de montrer que son polynôme minimal sur Q est x 2 moins 2. Si vous y réfléchissez un petit peu, vous verrez que cet équivalent a montré que racine de 2 n'est pas rationnel. De façon analogue, le polynôme minimal de racine cubique de 2 sur Q est x 3 moins 2. Ensuite, passons à un nombre complexe : racine de 2 sur 2 plus i racine de 2 sur 2. Son polynôme minimal sur Q est x 4 plus 1, mais son polynôme minimal sur R est x 2 moins racine de 2 x plus 1. Donc voilà un exemple qui illustre le fait que le polynôme minimal dépend du corps sur lequel on le considère. Ensuite, le réel racine de 2 plus racine de 3 qui est algébrique sur Q, comme somme de deux nombres algébriques, racine de 2 et racine de 3, son polynôme minimal est le produit des quatre facteurs du premier degré qui apparait à l'écran et dont la forme développée est x 4 moins 10 x 2 plus 1. Donc à chaque fois dans ces exemples, il est clair que le nombre en question est racine du polynôme. Ce qui est difficile à vérifier, c'est que ce polynôme est bien le polynôme de degré minimal avec cette propriété. Enfin, le polynôme minimal sur Q de n'importe quelle racine complexe du polynôme x 5 moins x moins 2 est le polynôme x 5 moins x moins 2, donc de nouveau, la difficulté ici est de montrer qu'il n'existe pas de polynôme de degré strictement inférieur à 5 qui annule cette racine. Vous pouvez tester votre compréhension du polynôme minimal sur le quizz qui suit. Une deuxième propriété importante du polynôme minimal, c'est qu'il est irréductible dans k de x. Voici la preuve, si on écrit P min x égal P 1 P 2, avec P 1 et P 2 à coefficients dans k unitaires, alors on a par définition que P 1 de x fois P 2 de x égal 0. Donc l'un des deux facteurs est nul, par exemple P 1 de x égal 0, mais par définition du polynôme minimal, le degré de P 1 est alors supérieur ou égal au degré de P min, ce qui montre l'irréductibilité de P min. Il résulte de cette irréductibilité, grâce à un lemme vu précédemment, une propriété importante en caractéristique 0 : le polynôme minimal n'a aucune racine multiple, même dans une extension de k. Nous allons nous servir de cette propriété pour terminer la preuve du théorème de l'élément primitif énoncé dans la session précédente. Donc je rappelle la situation, on se donne une extension finie grand K d'un corps petit k de caractéristique 0, et on veut montrer qu'elle est engendrée par un seul élément, c'est-à-dire qu'il existe x dans grand K tel que grand K égal k crochets x. Donc comme grand K est un k espace vectoriel de dimension finie, il existe x 1, x n dans grand K tel que grand K égal petit k de x 1, x n. Nous allons procéder par récurrence sur l'entier n, le cas n égal 1 étant vide puisque c'est exactement la conclusion qu'on veut montrer. L'hypothèse de récurrence nous dit qu'il existe x dans grand K tel que le sous-corps de grand K engendré par les n moins 1 premier des x i soit égal à k de x. On peut donc écrire grand K égal petit k crochets x, x n, c'est-à-dire que grand K est engendré par deux éléments et il faut montrer qu'il est engendré par un seul élément bien choisi. Alors comme on est en caractéristique 0, on vient de voir que les polynômes minimaux de x et de x n sur k sont à racines simples. De plus, le corps petit k est infini. On peut donc utiliser le lemme montré à la fin de la session précédente, qui dit qu'il existe t appartenant à k tel que grand K soit en fait engendré par t x plus x n, ce qui est ce qu'on voulait démontrer. Alors revenons maintenant à notre polynôme minimal et nous allons en donner une autre caractérisation. Donc c'est la proposition suivante : soit k un corps, x un élément algébrique sur k, alors pour tout polynôme P dans k de x, P de x est nul si et seulement si P est divisible par le polynôme minimal. Dit d'une autre façon, les polynômes dont x est racine sont exactement les multiples du polynôme minimal. La preuve est basée sur la division euclidienne et on procède de la façon suivante : donc tout d'abord, il est clair que si le polynôme minimal divise P, alors P de x est un multiple de P min de x, c'est-à-dire de 0, il est bien nul. La réciproque est un petit peu plus difficile, donc on suppose à l'inverse P de x égal 0, et on commence par effectuer la division euclidienne de P par P min. On écrit donc P égal P min fois Q plus R où R est le reste et degré de R est strictement inférieur au degré du polynôme minimal. On évalue les deux membres de cette égalité en x, alors P de x égal 0 par hypothèse, P min de x égal 0 par définition, donc on obtient R de x égal 0. Si R n'est pas nul, on peut le diviser par son coefficient dominant pour obtenir un polynôme unitaire de degré strictement inférieur au degré du polynôme minimal qui annule x, mais ça c'est absurde car cela contredit la définition du polynôme minimal. R est donc nul et P min divise bien P. On a donc terminé la démonstration de la proposition. Cette proposition entraîne en particulier qu'un polynôme de k de x irréductible, unitaire, dont x est racine, est le polynôme minimal de x sur k. Cela donne donc une caractérisation de ce polynôme minimal. On peut aussi réénoncer la proposition en disant que le noyau de l'application linéaire qui va de l'anneau des polynômes k crochets grand X dans grand K et qui associe à un polynôme P sa valeur en x, P de x, et bien le noyau de cette application est formé des polynômes qui sont multiples du polynôme minimal. Quelle est l'image de cette même application linéaire? Et bien c'est le k espace vectoriel qu'on a noté k crochets petit x dans une session précédente. Si d est le degré du polynôme minimal, on avait déjà expliqué que la famille 1, x, x 2 jusqu'à x d moins 1 engendre ce k espace vectoriel k de x. D'un autre côté, il est clair, par définition du polynôme minimal que cette famille est libre. La dimension de l'espace vectoriel k de x est donc égale à d, le degré du polynôme minimal. Ce nombre s'appelle le degré de x sur le corps petit k. On le note degré indice k de x. Donc vous voyez sur l'écran les exemples présentés précédemment, donc je ne vais pas répéter les polynômes minimaux, ils apparaissent dans l'avant-dernière colonne, simplement nous avons ajouté dans une dernière colonne le degré de x sur le corps considéré, donc c'est tout simplement le degré du polynôme minimal, donc vous voyez les valeurs 2, 3, 4, 2, 4, 5. Remarquons une fois encore que le polynôme minimal dépend du corps sur lequel on le prend et donc bien sûr le degré de x aussi. Donc c'est le cas pour le nombre complexe racine de 2 sur 2 plus i racine de 2 sur 2, il est de degré 4 sur Q et de degré 2 sur R. Je vous remercie de votre attention. Au revoir et à bientôt.
