Bonjour. Bienvenue dans cette présentation du MOOC d'introduction à la théorie de Galois. MOOC ou FLOT, formation en ligne ouverte à tous dans la langue de Molière. Alors résoudre des équations polynomiales de degré inférieur ou égal à 4 est à la portée des mathématiciens depuis le XVIe siècle. Par exemple, on a dans cette équation de degré 2, x 2 mois x plus 1 égal 0, une racine, un demi plus un demi de i racine de 3, qui est un cas typique de résolution grâce à la racine du discriminant, ici la racine de moins 3. Dans l'exemple de degré 3, x 3 plus 6 x moins 8 égal 0, on trouve ici c'est la racine réelle qui ne fait qu'utiliser une racine cubique et une racine carrée emboîtée, et évidemment les quatre opérations de l'arithmétique. En degré 4, regardons un exemple sur une équation de degré 4 très simple, on va plutôt utiliser un logiciel libre qui s'appelle Sage que je vous conseille d'utiliser, qui était extraordinairement efficace. Alors qu'est-ce qu'on trouve? Eh bien on trouve une très belle formule, ou une formule épouvantable suivant les goûts, qui utilise les quatre opérations mais également des racines n-ièmes emboîtées, ici, racine cubique et racine carrée. On verra en exercices qu'on sait donc résoudre ces équations de degré inférieur ou égal à 4, et on vous expliquera comment le faire, ce que donc savent faire les mathématiciens depuis très très longtemps, ce que vous allez apprendre à faire. Alors qu'est-ce qui se passe en degré supérieur ou égal à 5? Pour ça, regardons trois exemples, absolument typiques. On a une équation ici très simple, petit degré, coefficient simple, x 5 moins x plus 3 égal 0. Seconde équation, une équation qui a toujours un petit degré mais qui a visiblement des coefficients compliqués. Et enfin, troisième équation, une équation qui est vraiment compliquée, à la fois du point de vue du degré, ici un degré 9, grand degré, et beaucoup de coefficients non nuls, des coefficients compliqués. Alors qu'est-ce qu'on peut se poser comme questions? Eh bien, première question : est-ce qu'on est capable de résoudre ces équations? En quel sens? Et bien en utilisant les quatre opérations et des radicaux emboîtés. Bon et puis si on sait faire ça, laquelle est la plus simple à résoudre? Laquelle est la plus compliquée à résoudre? Alors comme tout à l'heure, on va utiliser notre très joli logiciel de calcul, Sage je le répète, un peu de publicité pour ce logiciel libre qui est vraiment un très très beau logiciel. Voyons ce que ça donne. Alors je vous ai ici programmé les trois équations auxquelles on s'intéresse, alors la pire des équations la plus compliquée, eh bien finalement vous trouvez des solutions avec une racine cubique ici, ou ici, et bien l'empilement en tout cas d'une puissance d'une racine cubique et une racine carrée, donc on a une solution avec des radicaux emboîtés. On fait un petit peu de ménage, et puis on regarde la seconde équation qui est un petit peu plus simple, et ici aussi on a une solution qui fait intervenir bon ben ici une racine carrée, et puis ici l'empilement de deux racines carrées, comme vous le voyez. Et donc on a une solution avec des radicaux emboîtés, toutes les solutions sont mises de la sorte. Un petit peu de ménage, et on voit pour la dernière équation, la plus simple, eh bien que ça je ne sais pas trop qu'en faire, c'est ce qui est indiqué par le fait qu'il y recopie de l'équation tout simplement parce qu'il n'y a pas de formule avec des radicaux emboîtés, comme la théorie de Galois va nous l'expliquer. On constate donc que l'équation la plus simple, x 5 moins x plus 3 égal 0, et bien finalement n'est pas résoluble avec des radicaux emboîtés, alors que les deux équations compliquées sont, elles, résolubles avec des radicaux emboîtés, y compris l'équation vraiment avec un grand degré et des coefficients compliqués. L'ordre de difficulté de résolution croissante est finalement très inattendue puisque c'est 2, 3, 1, ce qui est vraiment pas très intuitif. Donc la théorie de Galois permet d'expliquer ce qui se passe et on va vous apprendre comment définir des groupes de Galois, comment les calculer et comprendre tous ces phénomènes. Alors expliquons de façon un peu intuitive qu'est-ce que c'est que ce groupe de Galois? La notion clé, c'est la notion de symétrie, symétrie du corps C des nombres complexes, qui préserve les quatre opérations. Ces symétries du corps C permutent les racines de n'importe quelle équation de degré n, z 1, z 2, z n. Ca fait donc un ensemble de permutations de ces n racines et c'est cet ensemble de permutations qu'on appelle le groupe de Galois de l'équation. Alors pour se faire quand même une idée intuitive de cette notion, faisons un petit quizz sur un exemple très très concret. Alors regardons la première équation, l'équation la plus simple apparemment, on peut utiliser un logiciel de calcul, ou alors on peut anticiper le fait qu'on a suivi ce MOOC de théorie de Galois et qu'on est capable de calculer les groupes de Galois, vous serez capables de calculer ce genre de groupes de Galois, eh bien il est engendré par deux éléments, deux permutations des racines, donc si je numérote les racines de cette équation de degré 5, z 1, z 2, z 3, z 4, z 5, on a une première permutation qui est une permutation circulaire des 5 racines, et une transposition qui simplement échange la première racine et la seconde racine suivant comment on les a numérotées. On vous apprendra comment calculer le groupe engendré par ces permutations et vous trouverez que c'est le groupe de toutes les permutations de cette racine, qu'il a 120 éléments, et que c'est un groupe très compliqué d'un certain point de vue. La seconde équation donne lieu a un groupe de Galois qui est engendré par un seul élément, c'est une permutation circulaire de 4 des 5 racines. Alors on voit ici qu'il y a une racine qui joue un rôle particulier, qu'on a appelé z 5, c'est tout simplement parce qu'il y a une racine évidente, entre guillemets, qui est simplement moins 1 et qui a le bon goût d'être un nombre rationnel, et ce genre de racine est toujours fixé par le groupe de Galois, c'est pour ça que, ici, on a simplement une permutation de 4 des 5 racines. Donc c'est un groupe qui est très simple. Bon et pour la troisième équation, on trouve encore un groupe engendré par une permutation circulaire, qui permute, mais 9 racines. Alors faisons un résumé de la situation. Le groupe G 2, de l'équation assez compliquée, petit degré certes mais des coefficients compliqués, donne lieu a un groupe commutatif, même cyclique, de tout petit cardinal 4. La troisième équation, qui était l'équation qui avait l'air la plus compliquée, grand degré, beaucoup de coefficients non nuls, coefficients très compliqués, donne lieu a un groupe qui est commutatif, cyclique, donc très simple, mais cardinal un peu plus grand, ici cardinal 9, donc qui est quand même plus compliqué que le premier groupe. Et puis la première équation qui avait l'air toute simple donne lieu a un groupe qui est non commutatif, très gros de cardinal 120, on verra même qu'au sens de la théorie des groupes il est non résoluble, et c'est ça qui explique que l'ordre des difficultés est l'ordre non intuitif 2, 3, 1. Je vous remercie d'avoir suivi cette présentation et je vous donne rendez-vous pour le premier cours vraiment de ce MOOC qui sera donné par Olivier, mais vous pouvez d'ores et déjà échanger sur le forum, échanger avec vos camarades qui suivent ce MOOC, poser des questions à l'équipe du FLOT. En tout cas je vous dis à bientôt, je vous souhaite un bon travail.
