Bonjour, dans cette première vidéo de la semaine 10, du FLOT d'introduction à la théorie de Galois, nous allons étudier un moyen très puissant d'étude du groupe de Galois. On a un polynôme P, qu'on va supposer unitaire à coefficients entiers, d'un groupe de Galois sur Q d'un polynôme P à coefficients entiers unitaires, en étudiant les groupes de Galois des réductions modulo des nombres premiers petit p arbitraire, groupe de Galois sur le corps premier à p élément. Alors pourquoi on veut faire ça? Tout simplement parce que les groupes de Galois de ces réductions modulo des nombres premiers d'un polynôme à coefficients entiers, sont des groupes cycliques puisque ce sont des groupes de Galois de corps finis, et on sait que les groupes de Galois des corps finis sont des groupes cycliques engendrés par les éléments de Frobenius. Comme je vous disais, ce sont des moyens d'étude extrêmement puissants, extrêmement sophistiqués des groupes de Galois en caractéristique zéro, donc des groupe de Galois sur Q des polynômes. Comme l'a notamment compris très très bien un mathématicien ukrainien qui s'appelle Cebotarev. Avant lui, d'autres mathématiciens avaient commencé à comprendre ça, par exemple Frobenius, en tout cas, Cebotarev a démontré que dans un sens extrêmement précis que vous expliquera Olivier Taïbi, dans une vidéo prochaine, la connaissance des groupes de Galois modulo des nombres premiers p assez détermine le groupe de Galois sur Q. Ce théorème de Cebotarev a donné lieu à ce qu'on appelle la théorie du corps de classe et qui, avec ses développements actuels, est un sujet d'étude complètement contemporain des mathématiques. Il n'est pas question pour nous de démontrer ce théorème de Cebotarev, mais en revanche, nous vous l'énoncerons, nous vous l'expliquerons, nous vous expliquerons ce qu'il veut dire, et nous vous l'illustrerons par des démonstrations par ordinateur. Alors, on va commencer par une version dite faible de théorème de réduction de mode p. Fixons quelques notations habituelles depuis un moment, donc comme je vous l'ai dit, on considère un polynôme, disons grand P à coefficients entiers qu'on suppose unitaire. Ce n'est pas absolument fondamental, on peut s'y ramener assez facilement, mais on se place dans ce cadre. Et je considère les racines Zi, les racines complexes de ce polynôme P de sorte que on a une décomposition P de X égal produit des X- Zi, le i égale 1 à n, ce qui signifie entre autres choses que pour l'instant je suppose pas que P est à racines simples dans C. Je suppose pas que P est un polynôme séparable. Alors l'outil de base pour étudier ça, sera un sous-anneau du corps des racines grand K du polynôme P, le corps des racines grand K du polynôme P, c'est le corps engendré sur Q par les racines z1, z2, jusqu'à zn, eh bien pour nous, nous allons considérer un sous-anneau de grand K, que je vais noter O, qui est tout simplement l'anneau engendré là encore par les racines z1, z2, zn, mais l'anneau engendré sur z. De manière plus terre à terre, les éléments de O sont simplement les expressions polynomiales à coefficients entiers des zi, alors que les éléments du corps des racines grand K sont les expressions polynomiales en les zi à coefficients dans Q, le corps des rationnels. Alors commençons par un lemme qu'on prouvera plus tard, qu'est un analogue du critère d'algébricité, ou un analogue des propriétés d'algébricité qu'on a vu précédemment. Quel est ce lemme? Alors, partant d'un élément quelconque petit a de O, l'anneau engendré par les zi sur z, eh bien tout élément petit a de O est annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. On dira dans ces conditions que a est un élément entier, sous-entendu entier sur z, car il existe des notions plus générales, d'éléments entiers sur des anneaux plus généraux, mais qui ne nous intéressent pas ici. Alors, commençons une fois admis ce lemme, par en déduire un corollaire qui va être extrêmement important pour nous. Je pars d'un élément, le voici. Entier, entier relatif qu'on suppose strictement plus grand que 1. Eh bien j'affirme dans ce cas que nO, l'ensemble des multiples de n à coefficients dans O est différent de l'anneau O tout entier. Alors pourquoi c'est vrai? Eh bien, on suppose le contraire, on suppose qu'on a O égal nO, et dans ce cas, ça entraîne qu'il existe un élément petit a de O tel que 1 égal n fois a. Du coup, on en déduit que 1 sur n est un élément de O, tout simplement par division par n, et donc d'après le lemme précédent, 1 sur n est un élément qui est entier sur z. Si donc cet élément est entier sur z, c'est qu'il est annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers de sorte qu'il existe une équation (1 / n) puissance m + b m- 1 (1 / n) à la puissance m- 1 etc., + b 0 = 0, où les b i sont des entiers relatifs. Alors une fois que j'ai cette expression, pour me ramener à de l'arithmétique, je chasse les dénominateurs en multipliant par n puissance m. Alors, qu'est-ce que j'obtiens? Ben, le terme en (1 / n) puissance m devient 1, le terme en (1 / n) puissance m- 1 devient n, etc., le terme en 1, si j'ose dire devient n puissance m, et j'obtiens une écriture 1 + bm- 1n +.....etc, jusqu'à b0n puissance m = 0. Une fois qu'on a ça, je peux mettre dans le membre de droite n en facteur, et j'obtiens que n divise 1, mais ça évidemment, ça entraîne que n égal + ou- 1, ce qui est absurde, puisqu'on a supposé que notre entier relatif n était strictement plus grand que 1. On aboutit à une contradiction, le corollaire est démontré. Une fois qu'on a ça, je peux choisir un nombre premier p pour l'instant absolument arbitraire. Je n'ai pas d'hypothèse sur p. Et d'après le lemme j'en déduis que l'anneau quotient O / pO que je note O tilda, est un anneau non nul. O est différent de pO, p est strictement plus grand que 1 de sorte que O tilda est différent de zéro. Bien, alors regardons un peu cet anneau non nul O tilda. Alors, cet anneau non nul, j'affirme que d'abord, il contient Z / pZ, ça c'est évident, O contient Z, O tilda c'est O /pO, donc O contient Z / pZ, O tilda est une Fp algèbre. Eh bien j'affirme que cette Fp algèbre O tilda est engendrée par par les classes des Zi modulo p, que j'ai notés Zi tilda, de manière assez intuitive. Alors pourquoi est-ce vrai? Ben, tout simplement vous réduisez modulo p, l'identité O égal l'anneau engendré sur Z par les racines de mon polynôme P de départ, z1, z2, zn. Réduction modulo p, vous obtenez que O tilda est égal à Fp de z1 tilda, z2 tilda, jusqu'à zn tilda. Une fois qu'on a ça, il est facile de voir que O tilda n'est rien d'autre que l'espace vectoriel engendré sur ur Z / pZ, or les monômes en les zi tilda, mais pas n'importe quels monômes, je peux supposer que les exposants j1, j2, jusqu'à jn qui apparaissent sont compris entre 0 et n- 1. Alors, pourquoi ça? Ben, c'est pas très compliqué, nous savons que pour tout i, P annule zi, ça c'est quelque chose qui a un sens dans l'anneau O de X, O de X, et je peux réduire modulo p cette expression pour obtenir que P tilda de zi tilda vaut zéro. P tilda c'est simplement le polynôme obtenu par réduction modulo petit p des coefficients du polynôme grand P de départ. Ainsi, chacun des zi tilda est annulé par un polynôme à coefficients dans z / Pz, p est à coefficients entiers et p tilda à coefficients dans z / Pz, qui est de degré inférieur ou égal à n, qui au passage est unitaire. Eh bien, ça c'est un argument de division qu'on a fait bien souvent, ça entraîne que, division que je vous laisse faire on peut se contenter des monômes, tels que les exposants j1 jusqu'à jn sont dans zéro jusqu'à n- 1. Alors, le corollaire de tout ça, c'est que la dimension de O tilda sur le corps premie Fp, sur z / Pz, est, au plus, égal au nombre de monômes qui apparaissent, qui, ici, vous comptez, il y en a, au plus n puissance n ; et en particulier donc, cette dimension est finie. Ce qui va être extrêmement important, pour nous. Alors, une fois qu'on a ça, j'affirme que on peut choisir, un idéal, m tilde, idéal de O tilde, qui a deux propriétés. La première propriété, c'est que c'est un idéal propre, de O tilde. Et la deuxième propriété, c'est que sa dimension est maximale, dimension sur, Z /p Z. Alors pourquoi je peux faire ça? Alors, ça n'a l'air de rien, mais le fait que je puisse choisir un idéal propre dans O tilde, vient du lemme précédent, qu'on a démontré, ou plutôt de son corollaire. Le fait que O tilde est non nul. En effet, puisque O tilde est non nul, l'idéal réduit à zéro est un idéal propre de O tilde, de sorte qu'il existe des idéaux propres de O tilde. Et donc il était très important de démontrer que O tilde était non nul. Deuxième point. Puisque la dimension de O tilde est plus petite que, n puissance n, la dimension de n'importe quel sous-espace vectoriel est plus petite que, n puissance n, de sorte que la dimension de tous les idéaux est plus petite que, n puissance n. Et donc, je peux bien choisir un idéal propre, tel que la dimension est maximale. Et donc j'ai obtenu un idéal qui est maximal, au sens de la théorie des anneaux, comme vous l'avez étudiée la semaine dernière, je crois. En particulier, nous savons que l'anneau quotient, O tilde sur m tilde, eh bien c'est un corps. Alors, on a une autre façon de voir tout ça. Ici, on est en train de travailler dans cet anneau, O sur p O, qui est O tilde, mais on pourrait avoir envie de travailler dans l'anneau initial, qui est l'anneau O. Alors comment faire ça? Eh bien, on introduit, tout simplement, la projection quotient de O sur O tilde, égale, O sur p O ; et je considère, m, l'idéal de O, qui est simplement l'image inverse de, m tilde par Pi. Alors, évidemment, vous avez une application composée qui va de O dans, O tilde sur m tilde, et j'affirme qu'elle induit un isomorphisme de, O sur m, dans, O tilde sur m tilde. C'est ce que j'ai illustré ici, en disant qu'il y a une égalité ; en fait, j'ai un isomorphisme absolument canonique qui ne dépend de rien du tout. En particulier, O tilde sur m tilde, est un corps, donc, puisqu'il est isomorphe à, O sur m, c'est que, O sur m, aussi, est un corps. Et, par définition, une des définitions possibles, ça entraîne que l'idéal, m, l'idéal de O, est un idéal maximal. Alors, une fois qu'on a ça, on a un certain nombre de compatibilités entre les réductions, et alors vous voyez, ici, j'ai plusieurs réductions possibles, j'ai des compatibilités entre réductions, compatibilités, c'est pas très facile à écrire, compatibilités entre les réductions, modulo petit p, les réductions, modulo m tilde, les réductions modulo m. Essentiellement, le message que j'ai envie de faire passer ici, c'est que tout est compatible. Alors, voyons ce que ça peut pouvoir dire dans un sens précis. Premièrement, si vous partez d'un élément arbitraire de O, petit x, eh bien vous pouvez, d'une part, regarder, x barre, qui est par définition, x modulo m, ici ; et vous pouvez regarder, x tilde, qu'est sa réduction modulo p, un élément de O tilde ; et vous pouvez réduire ça à, modulo m tilde, ce qui est ici. Eh bien évidemment, vous obtenez la même chose. La même chose, via l'isomorphisme, l'identification, entre, O sur m, et, O tilde sur m tilde. Donc vous n'avez pas trop à vous inquiéter, entre, réduire module m, et réduire, modulo m tilde, essentiellement ça fait la même chose. Alors, il y a une deuxième compatibilité, c'est que, à l'intérieur de O, vous avez un sous-anneau, qui est Z. Donc, vous pouvez partir de x, un entier relatif, et vous pouvez faire deux choses. Vous pouvez regarder, x barre, premièrement. Et vous pouvez regarder, x modulo p ; x modulo p, qui va être un élément, en fait, de Z sur p Z, puisque x était un entier relatif. Eh bien, j'affirme que c'est la même chose. En quel sens? Eh bien, x barre, c'est un élément, a priori, de, O sur m, ici. Mais O sur m, contient Z / p Z, puisque p est tué dans O sur m, il contient Z / p Z. Eh bien, avec cette identification, Z / p Z, inclus dans, O sur m, vous avez que, x barre c'est rien d'autre que la réduction de de x, modulo p. Donc finalement, toutes ces réductions, modulo m, modulo m tilde, modulo p, quand ça fait sens de dire qu'elles sont égales, eh bien, elles sont bien égales. Elles sont compatibles. Fort de ces notations et de ces compatibilités, on va prouver un lemme qui va être très utile pour nous, à savoir que, le corps k, qui, par définition, est donc le quotient de O tilde par m tilde, est un corps de décomposition de, P barre, la réduction modulo p du polynôme grand P de départ, un corps de décomposition sur F p. Alors comment on prouve ça? Eh bien, c'est conséquence de deux relations. La première relation, c'est que, comme nous l'avons vu, O tilde sur m tilde, s'identifie aussi au corps, O sur m ; de sorte que k c'est Z de z1, z2 jusqu'à, z n, divisé par l'idéal maximal m ; et donc, c'est le corps engendré par, z1 barre, z2 barre, z n barre, qui est écrit ici. Le deuxième point, c'est que, je vous rappelle que, P de X était un, est un polynôme unitaire à coefficients entiers, a i, de sorte que je peux réduire cette identité modulo le nombre premier, p, pour obtenir que, P barre, c'est le polynôme qui est simplement obtenu par réduction des coefficients. Donc, c'est un polynôme, Z / p Z, de X. OK. Mais, nous avons vu que, P de X, s'écrit, le produit des X, moins z i ; et les, z i, sont des éléments de O. Donc ça c'est une écriture qui vit dans les polynômes à coefficients dans O. De sorte qu'il est loisible de réduire modulo m, cette identité, pour obtenir que, P barre de X, égale, le produit des, X moins, z i barre. C'est ce que j'ai écrit, ici. Eh bien, on peut écrire un égal entre ces deux identités, à cause des propriétés de compatibilité entre les réductions modulo petit p, et les réductions modulo m, de tout à l'heure. Ainsi, mon polynôme, P barre, a pour racines les, z i barre ; les, z i barre, engendrent le corps k ; eh bien, par définition, ça prouve que k est un corps de décomposition de, P barre sur, F p, sur Z sur p Z. Alors maintenant, donnons, un peu, des propriétés galoisiennes de ces constructions. Qu'est-ce qui se passe, déjà, sur O? Alors je pars d'un élément, petit g de grand G ; j'ai le groupe de Galois de grand K sur Q ; le groupe de Galois du corps des racines de P sur Q. Eh bien, cet élément g, il permute les, z i, il permute les racines complexes de P ; il laisse, évidemment, fixes, tous les entiers relasi, relatifs, pardon ; et donc, mon élément g, préserve l'anneau O. Dans un sens que je vous laisse préciser, il agit sur l'anneau O. Du coup on peut regarder, g moins 1, de m, g moins 1 de l'idéal maximal, m. Et on sait, vous avez vu, vous pouvez vérifier à la main que c'est encore un idéal maximal. Cela justifie l'introduction, dans un certain sens en tous cas, d'un sous-groupe de G, qui est l'ensemble des éléments de Galois, qui fixent l'idéal maximal, m ; g moins 1, de m, c'est un idéal maximal, il peut être égal, ou pas égal, à m ; on regarde ceux qui fixent m, l'ensemble des g, tels que, g moins 1 de m, égale, m. Alors ce sous-groupe de G, vérifiez que c'est un sous-groupe, porte un nom ; on l'appelle le sous-groupe de décomposition du groupe de Galois, en l'idéal maximal, m. Alors, dans un exercice, vous verrez qu'il ne dépend pas trop du choix de cet idéal maximal, m. Alors regardons maintenant les propriétés galoisiennes des éléments de D m. Donc si je pars d'un élément, non plus seulement de G, le Galois, mais du groupe de décomposition, par définition, il préserve non seulement O, mais aussi l'idéal maximal, m. Et donc, cet élément g, il envoie O sur O, Il envoie m sur m et donc il induit un élément g barre, donc puisque, au niveau des quotients. Bien entendu, de même que cet élément g du groupe de décomposition est un automorphisme, cet élément g barre est un automorphisme de O sur m, un automorphisme de k, les automorphismes du k n'ont aucun mérite à laisser fixes tous les éléments de F p, donc g barre est un élément du groupe de Galois de k sur F p, c'est un, par définition, un élément du groupe de Galois du polynôme P barre sur F p puisque, je vous rappelle, petit k est un corps de décomposition de P barre sur F p. Alors il a simplement, cet élément g barre a simplement été obtenu par la réduction modulo m des éléments, et donc il est caractérisé par cette jolie formule : pour tout x dans O, l'image de la classe de x modulo m par g barre, que vous voyez ici, est égale à la classe modulo m de g de x que vous voyez ici, g de x barre, g barre de x barre égal g de x barre. Avec toutes ces notations et ces propriétés, je peux énoncer et démontrer le théorème de réduction modulo p dans sa version faible. Alors quel est-il? Eh bien, j'affirme que l'application qui va du groupe de décomposition en m dans g barre qui à g associe g barre, est un morphisme de groupe, alors ça je vous laisse vérifier, et surtout donc que ce morphisme de groupe est surjectif. Donc je vous rappelle, m c'était un idéal maximal qui contient p, c'est un idéal de O, l'anneau engendré par les z i et D m le groupe de décomposition. Alors comment on va prouver ça? Alors la preuve est un tout petit peu longue et délicate. On va la faire tranquillement. Alors je vais regarder les, la famille d'idéaux maximaux g moins 1 de m, pour g décrivant tous les éléments de g, presque tous les éléments de g, les éléments de g qui ne sont pas dans le groupe de décomposition. J'ai un nombre fini d'idéaux maximaux, disons j'en ai r, et je les note m 1, m 2 jusqu'à m r. Alors la première observation est la suivante : j'affirme que tous ces idéaux m i qui apparaissent ici sont différents de m 1. Pourquoi? Imaginez que vous ayez m i qui soit égal à m 1. Bon, ça voudrait dire que pour un certain g, vous auriez m i égal g moins 1 de m, mais ce g n'est pas quelconque, c'est pour un certain g qui n'appartient pas au groupe de décomposition. Donc vous auriez que m ici est égal à g moins 1 de m là-bas et par définition, ça, ça entraîne que g appartient à D m puisque D m c'est précisément l'ensemble des éléments qui fixent m. Donc vous obtenez que g appartient à D m et n'appartient pas à D m, une contradiction, donc vous avez bien que m i est différent de m pour tout i. Continuons. J'affirme que non seulement m i est différent de m, mais en fait m i n'est pas inclus dans m. En effet, si m i était inclus dans m, par maximalité vous auriez m i égal m, ce qui est absurde. Donc pour tout i, m i est pas inclus dans m. Qu'est-ce qu'on en tire? Eh bien, pour chaque i, puisque m i n'est pas inclus dans m, je peux choisir un élément x i qui est dans m i et pas dans m. Et avec ces éléments x i, pour ceux qui connaissent, je vais faire une version du, ce qu'on appelle le lemme chinois. Alors avec ces éléments x i, je vais simplement former le produit x 1 x 2 x r, et j'affirme en fait deux choses, c'est que x 1 x r appartient à l'intersection m 1 jusqu'à m r mais qu'il n'appartient pas à m. Alors pourquoi est-ce vrai? Eh bien la première chose, chacun des x i appartient à m i par définition, donc n'importe quel produit de x i par un scalaire appartient à m i, en particulier, x 1 x r appartient à m i puisque c'est un idéal, de sorte que x 1 x r appartient bien à l'intersection m 1 inter m 2 jusqu'à m r. Le deuxième point, c'est que x 1 x 2 x r n'appartient pas à m. Alors pourquoi est-ce vrai? Eh bien tout simplement par définition, nous savons que, puisque x i n'appartient pas à m, sa classe modulo m x i barre est différente de 0 dans O sur m qui est le corps k, mais puisque k est un corps, on en déduit que le produit des x i barre est différent de 0, autrement dit que le produit des x i n'appartient pas à notre idéal m. On a donc que x 1 x r appartient à cette intersection des m i moins l'idéal m. Alors, à l'aide de cet élément, je vais démontrer que l'idéal engendré par m et cette intersection m 1 inter m r plus m, est un idéal qui contient strictement m. Alors pourquoi? Eh bien parce que le fait qu'il contienne m, ça vous le voyez, mais j'affirme que cet élément x 1 x 2 x r appartient à la somme puisque c'est un élément de l'intersection mais que c'est un élément qui n'appartient pas m, par construction, de sorte que l'inclusion ici est stricte. Mais m est un idéal maximal, maximal parmi les idéaux propres de O, c'est donc que cet idéal m plus m 1 etc., intersection etc., jusqu'à m r n'est pas un idéal propre, c'est donc O tout entier. Alors on va maintenant écrire, du coup, l'élément le plus difficile à décomposer dans un idéal c'est-à-dire l'élément 1, ça signifie donc que 1 se décompose sous la forme a plus x 0, x 0 un élément de m correspondant à ce facteur ici, et a qui est donc égal à 1 moins x 0 qui est un élément du premier facteur qui apparait ici. Et donc, je vous rappelle que, par définition, cette intersection m 1 jusqu'à m r c'est l'intersection des g moins 1 de m pour g n'appartient pas à D m. Cette liste D m i, c'est simplement la liste des g moins 1 de m pour g n'appartenant pas à D m. Alors regardons ce qui se passe dans k quand on réduit ces relations dans k. Alors la première chose, c'est que puisque x 0 appartient à m, c'est que x 0 barre est nulle dans k. Ok? Alors le deuxième point, c'est que si g n'est pas dans le groupe de décomposition, j'affirme que g de 1 moins x 0 barre c'est égal à 0. Ca, c'est rien d'autre que g de a. Alors pourquoi c'est vrai? Ben g de 1 moins x 0 ben par définition, c'est g de a, g de a il appartient à tous les m i donc il appartient à tous les g moins 1 de m pour g n'appartient pas à D m. Donc ça veut dire que g de 1 moins x 0 il appartient à l'image par g de tous les g moins 1 de m pour g n'appartenant pas à D m. Mais g rond g moins 1 c'est l'identité, ça veut dire que g de 1 moins x 0 il appartient à m pour tout g qui n'appartient pas à D m. Et ça, c'est précisément dire que g de 1 moins x 0 barre est nulle dans le corps k. Bien, on va pouvoir passer maintenant à la preuve de cette version faible du théorème de réduction mod p. Alors pour commencer, choisissons un élément primitif de l'extension k sur F p, c'est-à-dire O sur m sur F p, et plus précisément choisissons un élément x de O qui relève un élément primitif x barre. Alors si je pars de n'importe quel élément de Galois de k sur F p, disons sigma 0 une certaine puissance de Frobenius, eh bien puisque x barre est primitif, sigma 0 est uniquement déterminé par la valeur de sigma 0 de x barre. Du coup, pour montrer que sigma 0 est dans l'image de notre morphisme phi qui va du groupe de décomposition dans g barre qui à g associe g barre, je dois simplement trouver g 0, un élément du groupe de décomposition, qui coïncide avec sigma 0 sur x barre, c'est-à-dire tel que g 0 barre de x barre égal sigma 0 de x barre. Alors pour faire ça, je vais introduire un relèvement astucieux de x barre en posant z égal x facteur de 1 moins x 0. Alors par définition c'est un élément de O, mais par construction, c'est même un élément qu'on connait bien puisque j'affirme que z barre est égal à x barre. En effet, nous savons que l'élément x0 appartient à l'idéal maximal m, de sorte que x 0 barre est égal à 0, et on a bien z barre égal x barre. D'autre part, je peux calculer la classe de g de z. En effet, si je calcule la classe de g de z on obtient que la classe de g de z c'est la classe de g de x fois g de 1- x0 c'est donc le produit de ces classes, g de x barre fois g de 1- x0 barre, et nous savons que pour tout g qui n'appartient pas au groupe de décomposition, g de 1- x0 est un élément de m, sa classe est nulle dans le corps k. Autrement dit, g de z barre est nul pour tout g qui n'appartient pas à Dm. Alors, ça va nous permettre d'analyser le polynôme mu de x suivant, qui est un annulateur de z évident, c'est le produit pour les éléments, par tous les éléments de Galois de X- g de z. Alors visiblement, c'est un polynôme à coefficients dans O, puisque nous savons que z est dans O, tous les éléments g de z sont dans O donc ce polynôme moyenné, cette moyenne, est un polynôme à coefficients dans O, mais en fait j'affirme que c'est mieux que ça, c'est un polynôme à coefficients entiers. Alors pourquoi c'est vrai? D'abord, par les arguments de moyenne, que nous avons déjà souvent utilisés, nous savons que ce polynôme mu c'est un polynôme qui est invariant par l'action de Galois, action sur l'espace des polynômes. Mais nous savons bien que les invariants de l'anneau de polynôme sous Galois, c'est rien d'autre que l'anneau des polynômes sous les invariants par Galois, c'est KG de X, comme c'est écrit ici. Mais j'affirme que KG de X, c'est Q de X, en effet j'ai ce groupe de Galois de K/Q et par définition les invariants de K sous Galois c'est Q. Donc mu, c'est un polynôme qui est en fait à coefficients rationnels. D'autre part, nous savons que nôtre polynôme mu est à coefficients dans O, et que d'après le lemme, tous les éléments de O, ce qu'on a admis, tous les éléments de O sont des éléments entiers. Donc mu, c'est un polynôme qui est à coefficients rationnels entiers, et dans O, donc c'est un polynôme à coefficients qui sont des rationnels et également entiers sur z, et nous savons qu'un nombre rationnel qui est à la fois entier sur z, c'est un entier relatif. Ce qui achève la preuve du lemme, le polynôme mu est bien à coefficients entiers. Alors, une fois qu'on fait ça, on peut analyser maintenant la réduction modulo m de ce polynôme, alors cette réduction modulo m vous pouvez voir ça simplement comme une réduction simplement modulo m, mais c'est un polynôme à coefficients dans Z, donc c'est une réduction modulo m inter Z, m inter Z c'est p fois Z, puisque m contient le nombre premier p, donc que mu barre c'est un polynôme dans Fp de X. On est maintenant en mesure de terminer la preuve. Alors, on va étudier simplement la réduction de ce polynôme mu barre de X. Alors mu barre de X, c'est le produit pour g dans Galois, des x- g de z barre, alors on va poser ce produit en, les produits sur les g appartient à Dm, et les produits sur g n'appartient pas à Dm. Alors, on sait très bien que les X- g barre de z barre pour les g qui n'appartiennent pas à Dm, sont très simples puisque g de z barre est nul. De sorte que mu barre de X, c'est le produit d'un polynôme qu'on va appeler mu barre indice m de X, qui est le produit des X- g barre de z barre pour g n'appartient pas à Dm, par un certain monôme, qu'est ce produit des X, donc ça c'est un X à une certaine puissance. Alors évidemment, si vous savez que notre polynôme, nous savons que notre polynôme mu barre de X est un polynôme à coefficients z sur pZ de X, eh ben si vous le divisez par une puissance de X, le quotient mu barre de m de X est encore à coefficients à z sur pZ. Bien, alors, qu'est-ce qu'on a obtenu? On a obtenu que ce polynôme ici, le produit des X- g barre de z barre, est bien un polynôme à coefficient de Z sur pZ. Alors, si vous êtes extrêmement attentifs, vous allez me dire que j'ai un tout petit peu triché parce que de façon implicite, j'ai utilisé la déficition, la caractérisation de g barre, la formule g barre de z barre égale g barre de z barre comme ça pour tout g appartenant à Dm, qu'on a vu au début. Bien, donc nous avons ici un polynôme à coefficients dans Z sur pZ, qui évidemment annule X barre. Et c'est la clé de toute cette histoire, en effet, puisque mu barre m est un annulateur de X barre, si j'applique sigma 0 à mu barre m, qui est à coefficients dans Fp, donc je peux faire ça, mu barre m de X barre, c'est simplement mu barre m de sigma 0 de X barre, c'est aussi nul, sigma 0 permute les racines de mu barre m, comme on l'a déjà vu un bon nombre de fois. Simplement, ces racines de mu barre m, on les connaît. Puisque les racines de mu barre m, c'est simplement les g barre de z barre pour g appartenant au groupe de décomposition Dm. De sorte que puisque sigma 0 de X barre est une telle racine, il va exister un élément du groupe de décomposition tel que sigma 0 de X barre est égal à g barre de X barre. Eh bien on a terminé. En effet, si sigma 0 et g barre coïncident sur l'élément primitif X barre, nous avons remarqué que ça entraînait que sigma 0 égal g barre, et par définition c'est bien phi de g que j'ai peut-être noté psi de g, je ne me souviens plus, et donc il appartient bien à l'image du morphisme qui va de Dm dans g barre. J'ai terminé la preuve du théorème de réduction faible. Je vous remercie d'avoir suivi cette longue vidéo, peut-être assez difficile et vous verrez la semaine prochaine comment on prouve la version forte du théorème de réduction d'Lp, et puis le lemme que j'ai admis au début, et qui paradoxalement est quand même un petit peu moins difficile à prouver que la version faible. Merci.
