Bonjour, aujourd'hui nous allons utiliser le lemme suivant démontré la dernière fois, pour en déduire un résultat fondamental qui est le suivant. Donc proposition : un polynôme non nul de degré n à coefficients dans un corps k a au plus n racines dans k. C'est un phénomène qu'on a vu sur les exemples précédents, un polynôme de degré 2 avait au plus deux racines, de degré 3 au plus trois racines, et cetera. Donc la démonstration est simple, on procède tout simplement par récurrence sur le degré n du polynôme. Le cas n = 0 et le cas d'un polynôme constant, donc un polynôme constant non nul n'a aucune racine, ça rentre bien dans le cadre de la proposition. Si le degré n du polynôme est strictement positif, de deux choses l'une, soit P n'a aucune racine, auquel cas la conclusion de la proposition est évidemment vraie. Soit il a une racine disons petit a, et on peut écrire grâce au lemme: P de X comme multiple de (X- a) c'est-à-dire P de X égal (X- a) fois Q de X, où Q de X est un polynôme toujours à coefficients dans k et qui est degré un de moins. Donc si on regarde un petit peu les conséquences de cette égalité, on voit que les racines de P autres que a sont obligatoirement racines de Q. Or, par hypothèse de récurrence, Q a au plus n- 1 racines, donc P a au plus n racines, à savoir les racines de Q + a. Continuons un petit peu dans les notions de base sur les polynômes. De la même façon que pour deux entiers, on peut définir le pgcd, On peut définir le pgcd, plus grand commun diviseur, de deux polynômes A et B à coefficients dans k. Donc si ces polynômes ne sont pas tous les deux nuls, c'est par définition le polynôme unitaire de plus grand degré qui divise A et B. Donc on voit bien l'analogie avec le pgcd des nombres entiers. Alors pour calculer pratiquement ce pgcd, on peut utiliser de la même façon que pour les entiers l'algorithme d'Euclide. Donc supposons que, B soit non nul, alors la façon de procéder est la suivante : c'est un algorithme qu'on peut implémenter sur un ordinateur, donc on effectue la division de A par B, donc on écrit A = B Q + B1, avec degré de B1 strictement inférieur au degré de B. Ensuite, on reprend B et on le divise par le reste, on écrit B = B1 Q1 avec un nouveau reste qui s'appelle B2. On continue comme ça. Donc vous voyez que les degrés des polynômes qui interviennent décroissent strictement, donc le processus au bout d'un moment va s'arrêter, il va s'arrêter comment? Eh bien il va s'arrêter quand le reste de la division sera nulle. Alors, l'algorithme d'Euclide, le pgcd de A et de B est le dernier reste non nul, alors qu'on doit rendre unitaire, c'est par convention le pgcd est un polynôme unitaire, c'est-à-dire qu'on le divise par son coefficient dominant. Une des conséquences agréables de l'algorithme d'Euclide, c'est que le pgcd reste le même qu'on le calcule dans k ou dans un corps plus grand que k. À priori c'est quelque chose qui n'est pas évident, on pourrait imaginer par exemple que le pgcd de deux polynômes à coefficients dans Q soit dans Q un certain polynôme mais que dans C par exemple, il apparaisse mystérieusement un polynôme de degré plus grand à coefficients dans C qui divise les deux polynômes, eh bien c'est pas le cas, ce pgcd va rester le même, quelque soit le corps, dans lequel on le calcule, corps qui contient les coefficients du polynôme bien sûr. Donc voici sur l'écran un exemple un petit peu compliqué, mais c'est pour montrer un petit peu comment ça marche dans une situation non triviale, donc on va s'intéresser au pgcd de deux polynômes que je vous laisse lire, donc l'un de degré 7, l'autre de degré 5, qu'on peut voir comme polynômes à coefficients dans Q par exemple ou n'importe quel autre corps contenant Q. Donc on effectue les divisions successives comme j'ai expliqué tout à l'heure donc voyez que conformément à la règle, les degrés des restes sont strictement décroissants donc le premier reste est de degré 4 puis degré 3 puis degré 2 puis degré 1 et on arrive finalement comme prévu à zéro donc l'algorithme d'Euclide nous dit que, on va trouver, le pgcd comme le dernier reste non nul qu'on va rendre unitaire. Alors le dernier reste non nul c'est 12 X + 12, pour le rendre unitaire, on le divise par son coefficient dominant et on obtient X + 1. Cela signifie d'ailleurs que X + 1 donc divise chacun des deux polynômes et donc que- 1 est racine de chacun des deux polynômes. Revenons sur les racines d'un polynôme P à coefficients dans notre corps k, on a vu qu'un élément a de k est racine de P si et seulement si P est divisible par (X- a). On dira que a est racine multiple de P si P est divisible par (X- a) au carré. On dit que a est racine simple dans le cas contraire. Enfin, il sera utile d'introduire le polynôme dérivé d'un polynôme, donc prenons un polynôme P de X = an Xn + et cetera + a1 X + a0 comme d'habitude, eh bien on va décréter que son polynôme dérivé, c'est le polynôme n an Xn- 1 + et cetera + a1, donc c'est la formule habituelle de dérivation. Simplement, il n'y a pas question de limite de taux d'accroissement ici, c'est juste une définition formelle, on définit le polynôme P prime par la formule que j'ai expliquée tout à l'heure. Ensuite c'est qu'une question de calcul qu'on va pas faire ici, de vérifier qu'on a bien la formule de Leibniz de dérivation d'un produit, c'est-à-dire que la dérivé d'un produit P Q c'est P prime Q + P Q prime comme on a l'habitude. Donc maintenant nous allons pouvoir faire le lien avec différentes notions qu'on a introduites, dans le lemme suivant : si vous avez un polynôme P à coefficients dans un corps k non nul qui a une racine multiple alors le pgcd de P et de son polynôme dérivé P prime n'est pas un polynôme constant. Alors, avant de commencer la démonstration je vais juste faire une petite remarque, vu que le pgcd ne dépend pas du corps où on le calcule, la conclusion reste valable même si P a une racine multiple dans un corps contenant k, c'est-à-dire que la racine multiple, elle peut très bien ne pas être dans k mais le pgcd de P et de P prime qui lui reste le même ne sera pas constant. Donc ça c'est une remarque importante. Alors passons maintenant à la démonstration, donc on écrit la définition du fait que P a une racine multiple petit a, donc je vous rappelle cela signifie que P est divisible par (X- a) au carré, donc on écrit P de X égal (X- a) au carré fois Q de X où Q est un polynôme à coefficients dans Q. Ensuite, on dérive cette équation en utilisant les règles de dérivation habituelle, à savoir ici la formule de Leibniz, donc à gauche c'est juste P prime de X, à droite je dérive d'abord (X- a) au carré donc ça fait 2X- a fois Q de X et après je dérive Q c'est-à-dire que j'ajoute X- a carré Q prime de X. Donc on se rend compte que X- a c'est un diviseur commun à P et P prime, il divise à la fois P et P prime. Donc le pgcd qui est le polynôme de plus grand degré qui divise P et P prime est de degré supérieur ou égal à 1 puisqu'on a déjà un diviseur commun qui est de degré supérieur ou égal à 1. Donc ça démontre le lemme. Alors encore un peu de définition, donc on va définir ce que c'est qu'un polynôme irréductible, donc là il faut faire très attention, je prends un polynôme P à coefficients dans un corps k et on va définir l'irréductibilité dans k de X, on dit aussi simplement sur k. Donc c'est un petit peu l'analogue des nombres premiers, dans les nombres entiers. On dit que le polynôme P est irréductible s'il est de degré strictement positif c'est-à-dire qu'il n'est pas constant mais qu'on peut pas l'écrire comme produit de deux polynômes à coefficients dans k de degré strictement inférieur au degré de P. Donc quelques remarques faciles, un polynôme de degré 1 est toujours irréductible, et un polynôme irréductible dans k ne peut pas avoir de racine dans k puisque, comme on l'a vue précédemment, s'il avait une racine petit a dans k, il serait divisible par (X- a). Et donc on pourrait l'écrire (X- a) fois Q de X ce qui contredirait l'irréductibilité. Donc, j'insiste de nouveau, la notion d'être irréductible dépend vraiment du corps dans lequel on se place. Donc prenons un exemple, polynôme X4 + 1, on peut montrer qu'il est irréductible sur Q, c'est pas totalement évident, en revanche il ne l'est plus sur R. En effet, on peut l'écrire X4 + 1 = (X2 + racine de (2X) + 1) fois (X2- racine de (2X) + 1) donc on l'écrit comme produit de deux polynômes de degré 2, et donc il n'est pas irréductible. Alors a fortiori, il n'est pas irréductible sur C puisque cette décomposition en produit de deux polynômes à coefficients réels est aussi a fortiori une décomposition en produit de deux polynômes à coefficients complexes mais on peut remarquer que chacun de ces polynômes de degré 2 se décompose de nouveau plus loin en produit de deux polynômes de degré 1 à coefficients complexes. Donc quoi qu'il en soit, voyez que ce polynôme X4 + 1 est irréductible sur Q mais pas sur R, ni sur C. De la même façon qu'un nombre entier s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers, on peut montrer essentiellement de la même façon, qu'un polynôme non nul s'écrit de façon unique, alors unique c'est toujours sous-entendu à permutation des facteurs près, comme produit de polynômes irréductibles, unitaires et de son coefficient dominant. Donc les exemples qu'on a vus plus tôt de décomposition du polynôme X4 + 1 sont en fait ses décompositions en produit de facteurs irréductibles dans Q de X donc c'est juste lui-même, dans R de X, c'était un produit de deux polynômes de degré 2 et dans C de X, c'est un produit de quatre polynômes de degré 1. Donc il est clair que si on s'intéresse à trouver les racines du polynôme P, il suffit entre guillemets de trouver les racines de ses facteurs irréductibles. Merci de votre attention. Au revoir et à bientôt.
