Bonjour. Jusqu'à présent, nous nous sommes intéressés à des polynômes qui avaient leurs coefficients dans un corps et nous allons regarder maintenant d'un petit peu plus près ces corps. À part le corps des nombres rationnels que tout le monde connaît bien, nous allons aussi utiliser des corps du type Z sur pZ où p est un nombre premier, et plus précisément, partant d'un polynôme à coefficient entier on peut le réduire, c'est-à-dire réduire ses coefficients modulo le nombre premier p et s'intéresser ainsi au nouveau polynôme obtenu à coefficient dans le corps Z sur pZ. Alors, différentes choses peuvent arriver, par exemple, le polynôme X 4 + 1, qui était irréductible dans Q de X se trouve, modulo 2, être égal à (X + 1) puissance 4, il est donc devenu réductible. Modulo 3, on peut aussi le décomposer comme un produit de (X²- X- 1) fois (X² + X- 1), donc de nouveau il est réductible. Revenons un petit peu donc, à ces fameux corps, quelle différence y a-t-il entre le corps Q et le corps Z sur pZ, à part le fait que le premier est infini et le second est fini? Si k est un corps, on note en général 0 indice k son élément neutre pour l'addition et 1 indice k, son élément neutre pour la multiplication. Je rappelle que par définition un 0 est différent de 1. Soit n, un entier naturel non nul, nous considérons n fois 1k, c'est-à-dire qu'on ajoute 1k avec lui-même, n fois. De deux choses l'une, soit ces éléments sont tous non nuls, dans ce cas, on dit que le corps k est de caractéristique 0 ou de caractéristique nulle, soit il existe un entier n strictement positif tel que n fois 1k soit égal à 0k. Dans ce cas, notons p le plus petit entier strictement positif qui a cette propriété, c'est-à-dire qui vérifie p fois 1k = 0k. Nous allons montrer que p est un nombre premier. Écrivons donc p = ab avec a et b entier strictement positif, on a alors 0 égal p fois 1 qu'on décompose en a fois 1 fois b fois 1, comme k corps est en particulier un anneau intègre l'un des deux facteurs doit être nul, donc soit a 1 = 0 soit b 1 = 0 mais par définition de p cela nécessite que soit a ≥ p, soit b ≥ p. En d'autres termes, nous avons démontré que chaque fois qu'on écrit p = ab alors a ou b ≥ p. Ce qui signifie que p est bien un nombre premier. Revenons à notre corps k, on dit que celui-ci est de caractéristique p. Pour résumer, les propriétés d'un corps de caractéristique p, on a alors pour tout entier n divisible par p et tout x dans k, nx, ce qui signifie x + x + x répété n fois, égal nx fois 1, égal n fois 1 fois x = 0 puisque n fois 1 = 0. Comme exemple, on a le corps Q qui est de caractéristique 0, puisque n fois 1 dans Q est toujours non nul quand n est non nul, tandis que Z sur pZ est un corps de caractéristique p, puisque p fois 1 = 0 dans Z sur pZ. On note d'ailleurs ce corps Fp, pour rappeler la structure de corps de Z sur pZ. Tout corps fini, c'est-à-dire tout corps dont le cardinal est fini, est aussi de caractéristique non nulle. Alors on a l'habitude de travailler avec des corps de caractéristique nulle comme le corps Q, il faut faire attention que des choses un petit peu étranges peuvent se passer en caractéristique p. Par exemple, un polynôme peut avoir une dérivée nulle sans être constant, c'est le cas pour le polynôme X puissance p dont la dérivée est p x p mois 1 et p dans le corps k est nul. Ce genre de chose n'arrive pas en caractéristique 0, voyons un petit peu pourquoi. Alors prenons un polynôme P(X) qu'on écrit comme d'habitude an Xn, plus et cetera, plus a 1 X plus a 0 avec a n différent de 0, c'est-à-dire que le degré de P est l'entier n qu'on suppose ≥ 1. Alors sa dérivée par définition est le polynôme nan Xn-1, plus et cetera, plus a1 alors le premier coefficient de ce polynôme p prime qui apparaît est nan mais nan, c'est n fois 1 fois an si la caractéristique du corps est nulle, n fois 1 est non nul, an est non nul, leur produit est donc non nul et c'est bien le coefficient dominant du polynôme P'. On a donc montré que le degré de P' est le degré de P moins 1. Donc ça, c'est la règle habituelle entre guillemets, c'est la raison pour laquelle, on se placera le plus souvent en caractéristique nulle. Comme dans le résultat suivant, qui est d'ailleurs faux en caractéristique non nulle. Soit k un corps de caractéristique nulle. Un polynôme irréductible P à coefficient dans k n'a de racine multiple dans aucun corps contenant k. Passons maintenant à la démonstration du lemme, on procède par l'absurde et on suppose que p à une racine multiple dans un corps grand K contenant petit k il est de degré ≥ 2 et comme on vient de le voir le degré de P' son polynôme dérivé est n moins 1 puisque l'on a supposé qu'on était en caractéristique 0. On a aussi vu que le polynôme de pgcd de P et de P' qui est le même, je le rappelle qu'on le calcule dans k ou K n'est pas constant puisque P a une racine multiple. Or, ce pgcd divise par définition P', il est donc de degré inférieur ou égal au degré de P' qui est strictement inférieur au degré de P. Ainsi, le pgcd de P et de P' est un polynôme de degré strictement inférieur au degré de P qui est non constant et qui divise P. Ceci contredit l'irréductibilité de P et donc nous avons démontré le lemme par l'absurde. Au revoir et à bientôt.