Dans la séquence précédente, nous avons revu le calcul de la transformation de Fourier sur la classe de Schwartz, enfin le calcul, ou les propriétés de base de la transformation de Fourier sur la classe de Schwartz. Eh bien maintenant, par un procédé de dualité, nous allons définir la transformation de Fourier sur l'espace des distributions tempérées qui est le dual, dual topologique, espace des formes linéaires continues sur la classe de Schwartz. Alors, pour faire ce, pour effectuer cette construction par procédé de dualité, je vais partir d'une identité remarquable qui est vérifiée pour tout couple de fonction phi et psi, dans la classe de Schwartz sur R N. En effet, si j'écris ce que vaut l'intégrale sur R N du produit phi de x fois Fourier psi de x d x. Alors, je vais, dans cette intégrale, remplacer Fourier psi de x par sa valeur, et donc, je vois que ça, c'est égal à l'intégrale de phi de x que multiplie l'intégrale sur R N de e puissance moins i x scalaire y, psi de y d y, le tout intégré d x. Bien. Et maintenant, je permute les intégrations en x et en y, et je vois que ceci, je l'écris intégrale sur R N de psi de y, que multiplie l'intégrale sur R N de e puissance moins i x scalaire y, phi de x d x, le tout intégré par rapport à y. Et maintenant, dans l'intégrale interne qui est l'intégrale en x, je reconnais la transformée de Fourier de phi évaluée au point y. Autrement dit, cette dernière intégrale est égale à l'intégrale sur R N de psi de y, Fourier phi de y, d y. Alors, il faut justifier l'interversion de l'intégration par rapport à x, et par rapport à y. Ça, c'est pas très difficile, c'est évidemment une application du théorème de Fubini qui est justifiée par le fait que lorsque je prends le module de l'intégrande, à savoir e puissance moins i x scalaire y, phi de x, psi de y, en module, eh bien, le facteur exponentiel est de module 1. Donc, je trouve que c'est le module de phi de x fois le module de psi de y, et comme phi et psi sont chacune des fonctions de la classe de Schwartz, elles sont en particulier à décroissance rapide, à l'infini, et continue, même C infini, et par conséquent sont chacune intégrables sur R N. Et par conséquent, le produit module de phi de x fois module de psi de y est une fonction intégrable dans l'espace produit R N croix R N. Alors, nous allons maintenant utiliser cette formule que nous savons être vraie, sur les fonctions de la classe de Schwartz, en la copiant, en remplaçant l'une des fonctions de la classe de Schwartz, par exemple, psi, par une distribution tempérée. Et cette formule que nous copions ainsi, la formule que nous obtenons, nous l'utilisons comme définition de la transformation de Fourier. Donc, la définition fonctionne comme suit. À toute distribution tempérée sur R N, T appartenant à S prime de R N, on associe la distribution tempérée F T, Fourier de T qui appartient à S prime de R N, et qui est définie par la formule suivante. F T de phi est égale à la distribution tempérée T appliquée à Fourier de phi pour toute fonction test phi qui est dans la classe de Schwartz sur R N. Enfin, cette définition a bien un sens. Elle définit bien Fourier de T comme distribution tempérée puisque T appliquée à Fourier phi a bien un sens. En effet, je rappelle que la classe de Schwartz est stable par la transformation de Fourier. Donc, Fourier phi, c'est un élément de la classe de Schwartz, et je peux parfaitement calculer la distribution tempérée T dessus. Alors, il faut vérifier que cette définition donne bien une forme linéaire qui est continue sur la classe de Schwartz. Bon, ça, c'est une vérification qui ne pose aucune difficulté, et qui découle presque des définitions des normes NP intervenants pour définir la topologie de la classe de Schwartz, et la propriété de continuité des distributions tempérées. Bien. Alors, voyons les premières propriétés de cette transformation de Fourier au sens des distributions. Alors, première proposition, premier énoncé. La transformation de Fourier sur S prime de R N échange la dérivation et la multiplication par plus ou moins i x, ou plus ou moins x i suivant qu'on ait en variable physique, comme on dit, ou en variable de Fourier. Ce que j'entends par là, c'est qu'on a sur les distributions, exactement la même formule que dans le cas des fonctions de la classe de Schwartz. À savoir que la transformée de Fourier de d rond t sur d rond x k, est égale à i ksi k Fourier de T. De même que la dérivée partielle d rond de Fourier T par rapport à d rond x k, est égale à Fourier de moins i x k fois T. Alors évidemment, ces formules ont bien un sens, puisque si T est une distribution tempérée, d rond x k T est encore une distribution tempérée. D'autre part, x k fois T est encore une distribution tempérée, comme produit de la distribution tempérée T par une fonction polynôme. De la même manière, Fourier T est une distribution tempérée. Lorsque je la multiplie par ksi k, j'obtiens à nouveau une distribution tempérée, et puis c'est le produit d'une distribution tempérée par la fonction polynôme ksi k. Et de la même manière, d rond ksi k F T est encore une distribution tempérée, puisque c'est la dérivée de la distribution tempérée F T. Donc, tous les termes qui interviennent dans ces égalités ont bien un sens comme distribution tempérée. Deuxième propriété presque évidente, et qui découle de la définition, c'est que la transformation de Fourier sur S prime de R N est séquentiellement continue. Autrement dit, si je prends une suite Tn de distribution tempérée qui converge dans S prime de R N, vers une distribution tempérée T, eh bien, les transformées de Fourier passent à la limite. À savoir que Fourier de Tn converge vers Fourier de T dans S prime de R N, lorsque N tend vers plus l'infini. Vérifions par exemple, la première propriété pour manipuler un petit peu cette définition de la transformation de Fourier sur les distributions. Donc, je vais m'appuyer sur ce que je sais déjà, sur la classe de Schwartz. Et donc, pour toute fonction phi sur la classe de Schwartz dans R N, eh bien, on a vu que Fourier de d ksi k phi, c'est la même chose que i x k Fourier phi de x. Et de la même manière, on a vu que d rond x k de Fourier phi, c'est Fourier de moins x i k phi. Alors, une petite remarque, vous aurez certainement remarqué ici, que j'utilise ksi comme variable, avant d'appliquer la transformée de Fourier à la fonction test phi, et x comme variable, après avoir appliqué la transformée de Fourier. Autrement dit, les rôles de x et de ksi comme variable de Fourier que j'utilise sur les distributions sont ici inversées, et c'est parfaitement normal, parce qu'en réalité phi va être prise comme fonction test pour tester la distribution Fourier de T. Donc, en quelque sorte, phi est une fonction dans l'espace de Fourier. Alors, à partir de ces deux formules, on trouve la formule énoncée au point petit a de la manière suivante. Je prends ma distribution tempérée T. Je calcule la transformée de Fourier de d rond x k T appliquée à phi. Bien sûr, par définition de la transformée de Fourier, c'est égal à d rond x k T appliquée à Fourier phi. Par définition de la dérivation des distributions, c'est moins T appliqué à d rond x k de F phi. Grâce à la formule précédente qui est à droite, on trouve que ceci est égal à moins T appliqué à Fourier de moins x i k phi. Mais par définition de la transformée de Fourier, ceci est égal à i Fourier T, appliqué à ksi k phi. Et par définition de la multiplication des distributions par une fonction de classe C infini, ici, un polynôme, c'est égal à i ksi k Fourier T appliqué à phi, ce qui démontre la première égalité. La deuxième se démontre de la même manière, j'écris que d rond ksi k de Fourier T appliqué a phi, c'est moins Fourier T appliqué à d ksi k phi. Par définition de la transformation de Fourier, c'est moins T appliqué à Fourier de d ksi k phi. En utilisant la première formule, à gauche, j'obtiens que ceci est égal à moins i T appliqué à x k Fourier phi. puis donc, c'est égal à moins i x k T appliqué à Fourier phi et enfin, par définition à la transformée de Fourier c'est égal à moins i Fourier de x k T appliqué à phi, ce qui démontre les deux formules annoncées. La démonstration de la continuité séquentielle petit b, elle, ne pose aucun problème et c'est une application directe de la définition de la transformation de Fourier et de la convergence au sens des distributions tempérées. Alors, regardons un petit peu comment fonctionne cette transformation de Fourier dans plusieurs cas particuliers, en effet il y a un certain nombre de fonctions qui définissent des distributions tempérées et pour lesquelles nous savons déjà calculer leur transformée de Fourier. Alors l'exemple le plus immédiat, c'est celui des fonctions qui appartiennent à l'espace de Lebesgue L 1 de R N. Fonctions qui sont intégrables sur R N. Bon, alors, si je prends une fonction f qui est dans L 1 de R N, on a vu que la distribution T indice f qui lui est associée naturellement est une distribution tempérée sur R N. Et maintenant, pour une fonction qui est dans L 1 de R N, je sais parfaitement définir sa transformée de Fourier, c'est la fonction f chapeau de ksi, qui à tout ksi dans R N associe l'intégrale de e puissance moins i ksi scalaire x, f de x, d x. Bien, alors, maintenant, à cette fonction f L 1 sur R N j'associe une fonction qui est définie en tout point de R N qui est f chapeau. Eh bien, au sens des distributions, ce qui se passe, c'est que la transformée de Fourier et de la distribution associée à f, Fourier de T f, ça n'est rien d'autre que la distribution associée à f chapeau. Fourier de T f, c'est T de f chapeau. Autrement dit, la définition de la transformation de Fourier au sens des distributions lorsque je la spécialise au cas des fonctions intégrables au sens de Lebesgue sur R N, cette définition redonne bien le calcul que nous connaissons déjà dans le cas des fonctions intégrables au sens de Lebesgue sur R N. Alors, disons quelques mots de plus sur la transformation de Fourier opérant dans L 1, alors je rappelle qu'il y a un théorème fort connu dans ce cadre-là, qui s'appelle le théorème de Riemann-Lebesgue. Ce théorème de Riemann-Lebesgue, qu'est-ce qu'il dit? Eh bien il dit que pour toute fonction f qui est intégrable sur R N, pour tout élément f de L 1 de R N, la transformée de Fourier f chapeau qui est définie ci-dessus comme fonction, définie sur R N, en fait, cette transformée de Fourier est une fonction qui est continue sur R N, et d'autre part, le point un petit peu subtil, c'est le fait que la fonction f chapeau tend vers zéro à l'infini. Alors un petit commentaire là-dessus. Que f chapeau soit continu sur R N, ça découle de la continuité de l'intégrale définissant f chapeau par rapport au paramètre qui est la variable ksi, convergence dominée, par exemple, le fait que f chapeau tend vers zéro à l'infini, ça c'est un tout petit peu plus subtil, il y a plusieurs manières de la démontrer, je ne vais pas insister sur ce point, je voulais simplement dire que ce point précis, le fait que f chapeau converge vers zéro à l'infini fait toute la différence entre une fonction L 1, et une distribution d'ordre zéro, ou une mesure, de Radon, bornée pour ceux qui connaissent le vocabulaire de la théorie de la mesure. En effet, imaginons que, au lieu d'une fonction L 1, je calcule la transformée de Fourier d'une masse de Dirac en zéro. Eh bien on a envie d'utiliser la même formule et d'évaluer Dirac en zéro sur la fonction de classe C infini exponentielle de moins i ksi scalaire x, et on trouverait que, par la même formule, la transformation de Fourier agissant sur la masse de Dirac en zéro donne la constante égale à 1, qui évidemment ne tend pas vers zéro à l'infini. Autrement dit, le fait que f chapeau tend vers zéro à l'infini c'est vraiment une propriété qui est spécifiqueaux fonctions L 1, alors que, simplement le fait qu'on trouve une fonction qui est continue sur R N, ça, ce n'est pas spécifique aux fonctions L 1, le fait que f chapeau soit continue sur R N. Mais nous y reviendrons. Nous y reviendrons dans le second cas particulier que je veux présenter, qui est le cas de la transformée de Fourier des distributions à support compact. Bien. Alors d'abord, pour commencer, je fixe une notation. pour tout point ksi de R N, je vais poser E indice ksi de x, égale à exponentielle de i ksi scalaire x. E indice ksi, pour tout ksi dans R N, c'est une fonction de classe C infini sur R N, évidemment je peux lui appliquer une distribution à support compact. Prenons une distribution T à support compact sur R N, un élément de E prime de R N, c'est une distribution tempérée, donc on peut calculer sa transformée de Fourier, eh bien ce que l'on trouve, c'est que sa transformée de Fourier, Fourier T, est une fonction de classe C infini sur R N mais de plus, de particulièrement remarquable c'est que cette fonction, Fourier T on peut la calculer en tout point ksi de R N et Fourier T de ksi, ça n'est rien d'autre que la distribution T appliquée à la fonction E indice moins ksi. Alors par ailleurs, en utilisant la propriété de continuité des distributions tempérées, il est très facile de voir que, en fait Fourier t de ksi est une fonction qui est à croissance polynômiale à l'infini. Autrement dit, il existe un petit n, tel que T appliqué à E moins ksi est un grand tau de norme de ksi à la puissance n, lorsque norme de ksi tend vers l'infini. Alors cette remarque, enfin, cette propriété des distributions à support compact appelle à un commentaire. En fait, on voit que la formule qui donne Fourier T de ksi égale à T appliqué à la fonction E indice moins ksi, c'est peut-être la façon la plus naturelle qu'on aurait eue de calculer ou de définir la transformation de Fourier sur les distributions. Mais évidemment, avec cette définition qui est naturelle, parce que finalement elle copie ce qui se passe sur les fonctions, avec cette définition qui est bien sûr naturelle, on n'aurait accès qu'à la transformée de Fourier des distributions à support compact, puisque E indice ksi c'est une fonction qui est de classe C infini, et bien sûr, ce n'est pas une fonction de la classe de Schwartz. Donc le procédé de dualité que nous avons présenté plus haut, en fait il permet de définir la transformation de Fourier sur une classe plus grande de distributions, ce qui est évidemment plus satisfaisant. Si on n'avait que la transformée de Fourier des distributions à support compact, malheureusement, eh bien, ça serait tout à fait insuffisant pour la théorie, en particulier, pour la théorie des équations aux dérivées partielles. Bien alors, grâce à ça eh bien on peut calculer les transformations de Fourier de certaines distributions élémentaires, à support compact, en particulier regarder le cas des distributions de Dirac. Alors, j'ai un petit peu anticipé tout à l'heure en parlant de la transformée de Fourier de la masse de Dirac en zéro, on peut y revenir maintenant avec la formule qui est ici, eh bien on voit que, très simplement, Fourier de Dirac en zéro, c'est Dirac en zéro appliqué à la fonction E indice moins ksi, mais E indice moins ksi en zéro, ça vaut 1 donc Fourier de Dirac en zéro ça vaut 1, et par la même formule Fourier de Dirac en petit a, c'est Dirac en petit a appliqué à la fonction E indice moins ksi, et donc ça vaut E puissance moins ksi scalaire petit a, formule qui vaut pour tout petit a dans R N, évidemment, bien sûr, tout ksi appartenant à R N. Mais, on peut aller plus loin, bien sûr, et calculer des transformées de Fourier des dérivées de la masse de Dirac en zéro, et on trouve que Fourier de la dérivée d'ordre alpha, Fourier de d rond alpha de Dirac en zéro c'est égal à i ksi puissance alpha, Fourier de Dirac en zéro, Fourier de Dirac en zéro valant 1, on trouve que Fourier de d rond alpha Dirac en zéro est égal à i ksi puissance alpha avec la notation usuelle des multiindices. De la même manière, Fourier de d rond alpha de Dirac au point petit a est égal à i ksi puissance alpha Fourier de Dirac en petit a, autrement dit c'est égal à i ksi puissance alpha, exponentielle de moins i ksi scalaire a, formules qui valent pour tout alpha a multiindices à n composantes. pour tout ksi dans R N et pour tout a dans R N. Venons-en à une propriété vraiment fondamentale de la transformée de Fourier dans S prime, eh bien on sait que la transformátion de Fourier est un isomorphisme continu de la classe de Schwartz dans elle-même, on a une fiormule d'inversion, eh bien par dualité, eh bien cette formule d'inversion va se transporter au cas des distributions tempérées, et plus précisément, on a l'énoncé suivant : la transformation de Fourier est un isomorphisme de S prime de R N dans S prime de R N, classe des distributions tempérées sur R N, et l'inverse des isomorphismes est donné par la formule suivante : pour tout T distribution tempérée sur R N, Fourier moins 1 de T c'est 1 sur 2 pi puissance N, Fourier de T tilda, où je rappelle que, si je prends une distribution S, eh bien S tilda c'est tout simplement S composé avec moins l'identité. Autrement dit, je rapelle que ça, ça se calcule en disant que S tilda appliqué à phi, c'est tout simplement S appliqué à phi composé avec moins l'identité. C'est S appliqué à la fonction qui à x associe phi de moins x. Voyons comment on démontre cette propriété, cette formule d'inversion de Fourier dans S prime, eh bien en réalité, la formule est beaucoup plus simple à démontrer que dans le cas de la classe de Schwartz, ou plus exactement en démontrant la formule dans la classe de Schwartz, on a déjà fait tout le travail, ce qui reste à faire maintenant, c'est essentiellement utiliser la propriété de définition par dualité de la transformée de Fourier sur les distributions tempérées, et donc ce qu'on va vérifier, c'est que Fourier de Fourier de T, est égal à 2 pi puissance N, T composé avec moins l'identité, ce qui est évidemment équivalent à la formule d'inversion. Bien, alors pour toute fonction phi dans la classe de Schwartz sur R N, calculons Fourier de Fourier T de phi, eh bien, j'utilise une première fois la définition de la transformée de Fourier, donc ça c'est égal à Fourier T appliqué à Fourier de phi, j'utilise une deuxième fois la définition de la transformée de Fourier des distributions, c'est donc égal à T appliqué à Fourier de Fourier phi, mais Fourier de Fourier phi, par la formule d'inversion dans la classe de Schwartz, on sait que c'est 2 pi puissance N que multiplie phi composé avec moins l'identité de R N, donc évidemment ce qu'on trouve c'est 2 pi puissance N, T appliqué à phi composé à moins l'identité et donc par définition de ce que c'est que T tilda, eh bien on voit que cette dernière expresion vaut précisément 2 pi puissance N, T tilda appliqué à phi, on a donc démontré ainsi que Fourier de Fourier de T est égal à 2 pi puissance N, T tilda, ce qu'il fallait démontrer. Alors, grâce à cette propriété d'inversion, on va aller un petit peu plus loin et calculer des transformées de Fourier de fonctions polynômes. Alors évidemment, ces fonctions polynômes, c'est des fonctions, donc on peut trouver surprenant qu'il faille étendre la transformation de Fourier au cas des distributions pour calculer la transformée de Fourier de fonctions. Alors certes, mais le problème c'est que ces fonctions ne tendent pas vers zéro à l'infini, ne décroissent pas bien à l'infini au contraire elles peuvent tendre vers l'infini à l'infini en général et donc on ne peut pas calculer leur transformée de Fourier par la formule habituelle mettant en jeu l'intégrale de la fonction contre e puissance moins i ksi scalaire x d parce que cette formule n'a aucun sens puisque il ne s'agit pas d'une intégrale de Lebesgue en général pour des fonctions qui croissent trop vite à l'infini. Alors prenons le premier exmple, c'est de calculer la transformée de Fourier de la constante égale à 1. Fonction bornée continue sur R N qui définit donc une fonction tempérée. Fourier de 1 est égal à la distribution 2 pi puissance N, Dirac en zéro, donc on prend la transformée de Fourier d'une fonction, la plus gentille possible, mais ce qu'on trouve évidemment c'est une distribution, et plus géneralement Fourier de x puissance alpha, monôme x puissance alpha avec la notation multiindice, eh bien c'est 2 pi puissance N, i à la puissance, la longueur du multiindice alpha, que multiplie d rond alpha de Dirac en zéro. Démontrons ces deux formules : Alors de,Fourier de 1, il faut se souvenir en réalité1, c'est Fourier de Dirac en zéro. Donc Fourier de 1, c'est Fourier de Dirac en zéro, et puis la formule d'inversion nous dit que Fourier de Fourier de Dirac en zéro c'est 2 pi puissance N, Dirac en zéro composé avec moins l'identité, et Dirac en zéro composé avec moins l'identité c'est Dirac en zéro, donc on trouve 2 pi puissance N, Dirac en zéro, comme annoncé. Même démonstration pour Fourier de x puissance alpha. De même, si je prends Fourier du monôme, de i ksi puissance alpha, eh bien ça c'est Fourier de Fourier de d rond alpha de Dirac en zéro, en se souvenant que le monôme i ksi puissance alpha c'est Fourier de d rond alpha de Dirac en zéro, formule d'inversion de Fourier, ben ça, ça fait 2 pi puissance N, d rond alpha de Dirac en zéro que je compose avec moins l'identité de R N. Bien. Mais maintenant, je peux effectuer la composition par moins l'identité sur R N avant de faire la dérivation. Évidemment, si je fais ça, je vais sortir un facteur moins 1 à la puissance la longueur du multiindice, moins 1 à la puissance l'ordre de dérivation, donc tout ça, ça vaut 2 pi puissance N, moins 1 à la puissance longueur de alpha, d rond alpha de, Dirac en zéro composé avec moins l'identité, et Dirac en zéro composé avec moins l'identité, c'est Dirac en zéro, au total on trouve que ça fait 2 pi puissance N, que multiplie moins 1 puissance longueur de alpha, d rond alpha de Dirac en zéro, et puis maintenant, si on se souvient que i au carré ça fait moins 1, on peut diviser par i à la puissance la longueur de alpha chaque membre de cette égalité pour arriver à la formule annoncée. Autre propriété extrêmement importante de la transformation de Fourier, eh bien la transformation de Fourier transforme le produit de convolution en produit ponctuel. Ce que je veux dire par là, c'est que si je prends une distribution T tempérée sur R N, et une distribution S qui est à support compact sur R N, je peux effectuer leur produit de convolution, on a vu que ce produit de convolution S étoile T est en réalité non seulement une distribution sur R N mais une distribution tempérée sur R N donc je peux calculer sa transformée de Fourier, et la formule vraiment importante dont il faut se souvenir, c'est que Fourier de S étoile T c'est Fourier de S fois Fourier de T. Alors, je rappelle, comme on l'a déjà vu que Fourier S, en réalité, c'est une fonction qui est de classe C infini, la transformée de Fourier d'une distribution à support compact, donc comme une distribution à support compact décroît très bien à l'infini, sa transformée de Fourier est très régulière, donc j'obtiens une transformée de Fourier qui est de classe C infini, et puis d'autre part une distribution à support compact, c'est d'ordre fini, donc c'est pas trop irrégulier, et pour cette raison sa transformée de Fourier à une croissance limitée à l'infini, la transformée de Fourier d'une distribution à support compact, c'est à croissance polynômiale à l'infini. Ainsi que toutes ses dérivées, par conséquent le produit Fourier S, Fourier T, il est bien défini comme produit de la fonction à croissance polynomiale C infini, à croissance polynômiale ainsi que toutes ses dérivées Fourier S, par la distribution tempérée Fourier T. Bien, alors voyons maintenant comment fonctionne la démontration de cette formule. Alors, à nouveau il faut s'appuyer sur ce qu'on sait déjà sur la classe de Schwartz et procéder par dualité. Alors on sait que pout toute fonction phi dans la classe de Schwartz de R N, et pour toute distribution S à support compact sur R N, eh bien S étoile phi est une fonction qui appartient à la classe de Schwartz sur R N, et on sait, on a déjà vu dans le cours sur les fonctions de la classe de Schwartz que Fourier de S étoile phi, eh bien, c'est Fourier de S fois Fourier de phi. À nouveau, S étoile phi est dans la classe de Schwartz, Fourier de S étoile phi, c'est la transformée de Fourier d'une fonction de la classe de Schwartz, et dans le membre de droite, j'ai la fonction de la classe de Schwartz F phi que multiplie F S qui est une fonction de classe C infini à croissance polynômiale ainsi que toutes ses dérivées. Donc, le membre de droite est bien un élément de la classe de Schwartz. Alors, en utilisant le théorème d'inversion, je vais donc écrire que, eh bien, Fourier de S étoile T appliqué à phi, c'est la même chose que S étoile T appliqué à Fourier de phi. Et par définition du produit de convolution, c'est T appliqué à S tilda, S composé avec moins l'identité, étoile Fourier phi. Mais maintenant, S tilda étoile Fourier phi, c'est la même chose que S étoile Fourier phi tilda composé avec moins l'identité. Donc, tout ceci vaut T tilda appliqué à S étoile Fourier phi tilda. Mais Fourier phi tilda, c'est la même chose que Fourier de phi tilda, par changement de variable dans l'intégrale définissant Fourier phi. Et d'autre part, t tilda, eh bien, je vais l'écrire en utilisant le théorème d'inversion comme 2 pi puissance N, Fourier de Fourier de T. Bien. Donc, j'ai 2 pi puissance N, Fourier de Fourier de T appliqué à S étoile Fourier de phi tilda. Donc ça, ça vaut 2 pi puissance N Fourier T, calculé sur Fourier de S étoile Fourier de phi tilda. Et puis, j'applique ce que je viens de rappeler sur les fonctions de la classe de Schwartz. Et donc, tout cela vaut 2 pi puissance N Fourier T appliqué au produit Fourier S, Fourier de Fourier de phi tilda. oui, mais Fourier de Fourier de phi tilda, ça vaut exactement 2 pi puissance N fois phi. Donc, au total, je trouve que tout cela vaut Fourier de T fois Fourier de S que multiplie phi, et donc, ça vaut Fourier de S fois Fourier de T appliqué à phi. Dernière propriété vraiment fondamentale de la transformation de Fourier, c'est le théorème de Plancherel. Alors, on a déjà vu une formule de Plancherel dans le cadre des fonctions de la classe de Schwartz. Voyons ce que ce théorème nous dit dans le cadre des distributions. Alors, ce que le théorème dit, c'est que première chose, cette transformation de Fourier des distributions, évidemment, elle est définie en particulier par restriction à, sur L 2 de R N, puisque L 2 de R N est inclus dans la classe des distributions tempérées sur R N. Donc, Fourier envoie L 2 de R N dans son image, à l'intérieur de la classe des distributions tempérées sur R N. Bien. Mais le point remarquable, c'est que l'image de la transformation de Fourier sur L 2 de R N, eh bien, c'est L 2 de R N lui-même. Autrement dit, si je prends F, une fonction qui est dans L 2 de R N, je peux l'avoir comme distribution tempérée sur R N. Ce qui est parfaitement remarquable, c'est que sa transformée de Fourier qui a priori, simplement une distribution tempérée sur R N. En réalité, sa transformée de Fourier, est associée à une fonction L 2 de R N. Et en réalité, la formule de Plancherel que nous avons démontrée dans le cas des fonctions de la classe de Schwartz, s'étend au cas des fonctions dans L 2 de R N, de la manière suivante : pour tout f et g dans L 2 de R N, on a la formule de Plancherel suivante. Fourier f scalaire Fourier g dans L 2 de R N est égal à 2 pi puissance N f scalaire g dans L 2 de R N. Évidemment, le membre de gauche de cette égalité a bien un sens, puisque maintenant, on sait que Fourier f et Fourier g qui sont a priori, tout simplement des, seulement des distributions tempérées sur R N, sont en fait des fonctions de L 2 de R N. Donc, ça a parfaitement un sens de calculer leur produit scalaire dans L 2 de R N. Alors, je vais pas faire la démonstration de ce théorème de Plancherel qui serait un petit peu plus long que celle que je vous ai déjà montrée, mais je vais simplement dire comment on fait. L'idée, c'est de régulariser en se souvenant que la classe de Schwartz est dense dans L 2 de R N, et d'utiliser la formule de Plancherel déjà établie dans la classe de Schwartz, puis la complétude de L 2 de R N pour conclure avec la formule de Plancherel déjà établie dans S de R N. Voilà. Pour terminer, je vais donner des formules qui coulent presque de source sur la notion de transformation de Fourier partielle. Pour les problèmes d'évolutions dans les équations aux dérivées partielles, on aura très souvent besoin de considérer des fonctions qui dépendent d'une, d'une variable. Alors, en général, c'est une variable qui est la variable de temps, je note t, et d'une autre variable qui est la variable d'espace que je note x. Et souvent, on aura besoin de faire agir la transformée de Fourier sur certaines variables, et pas sur d'autres. Très souvent, on a envie de faire agir la transformation de Fourier sur la variable d'espace, par exemple x, et pas sur la variable de temps. Bien. Donc, c'est cette notion de transformation de Fourier partielle que je voulais mettre en place dans le cas des distributions. Donc, je prends donc une fonction phi qui est phi de t x, qui appartient à la classe de Schwartz dans le produit R croix R N, t varie dans R, x varie dans R N. Et je vais définir sa transformée de Fourier partielle en x, que je vais noter Fourier indice x de phi évalué en t et en ksi, par la formule intégrale sur R N de e puissance moins i ksi scalaire x, phi de t et de x, d x. Autrement dit, c'est la transformée de Fourier de la fonction phi de t et de x, vue comme fonction de x à t fixé. Bien. Alors évidemment, cette transformation de Fourier partielle est un isomorphisme continu qui envoie la classe de Schwartz de R croix R N dans elle-même. On peut vérifier toutes les propriétés qui sont déjà connues sur la transformée de Fourier usuelle, et en particulier, on peut vérifier sans difficultés qu'on a une formule pour l'inversion de Fourier, de la transformation de Fourier partielle. En effet, cette transformation de Fourier partielle F indice x, eh bien, c'est un isomorphisme continu sur la classe de Schwartz d'inverse donné par la formule Fourier x moins 1, 2 psi calculé en t, x. C'est 1 sur 2 pi puissance N, intégrale sur R N de e puissance i ksi scalaire x, psi de t et de ksi, d ksi. Alors, il faut faire un petit peu attention, ici. L'espace ambiant, il est bien de dimension N plus 1. Il y a N, dimension d'espace, et une dimension de temps, si je pense à x comme la variable d'espace, et t comme la variable de temps. Mais dans le facteur 1 sur 2 pi puissance N qui apparaît dans la formule d'inversion de Fourier, eh bien, ce facteur ne met en jeu que la dimension de l'espace correspondant aux variables sur lesquelles on fait la transformation de Fourier. Autrement dit, ça ne correspond qu'à la dimension du facteur R puissance N, ce qui est logique. Bien. Donc, à partir de là, on peut étendre cette transformation de Fourier partielle, ou la définir sur les distributions tempérées de deux variables t et x, toujours t dans R, et x dans R N. Donc, eh bien, soit t distribution tempérée sur R croix R N. Sa transformée de Fourier est partielle en x, qui sera notée toujours, Fourier x de T sera une distribution tempérée sur R croix R N, qui est définie par la formule habituelle. Fourier x de T appliquée à phi sera égale à T appliquée à Fourier x de phi, pour tout phi dans la classe de Schwartz de R croix R N. Et à nouveau, on a une formule d'inversion de Fourier partielle dans S prime de R croix R N. Cette transformation de Fourier partielle sur les distributions tempérées, c'est un isomorphisme continu, au moins continu séquentiellement. Et son inverse est donné par la formule qui est tout à fait analogue au cas de la transformation de Fourier totale, si j'ose dire, qui est que Fourier x moins 1 d'une distribution tempérée T, c'est 1 sur 2 pi puissance N, Fourier x de T composé avec l'application J. Alors, l'application J, c'est l'application qui à un point t, x associe le point t moins x. Autrement dit, l'antipodie, le fait de la symétrie, par rapport à l'origine n'agit que sur la variable x, ce qui est bien naturel, puisque après tout, la transformation de Fourier, ici, n'agit que sur la variable x. Je vais conclure cette présentation de la transformation de Fourier sur les fonctions de la classe de Schwartz, aussi bien que sur les distributions tempérées, avec un petit dictionnaire en forme de tableau. Alors, comme on a vu, si vous notez ce qui se passe dans les variables physiques, les variables d'origine, en bleu, et ce qui se passe dans les variables de Fourier, en rouge, eh bien, la dérivation dans les variables originales, dans l'espace physique, correspond à la multiplication par i ksi. L'intégration, ça correspond à la valeur en zéro de la transformée de Fourier de la fonction. La convolution, le produit de convolution, qui est une opération non locale, est transformée par Fourier en le produit ponctuel. La régularité des fonctions se lie sur la décroissance à l'infini de leur transformée de Fourier, et réciproquement. La décroissance à l'infini de la fonction correspond à de la régularité sur leur transformée de Fourier. Donc, il est bon d'avoir ce petit dictionnaire en tête pour savoir comment la transformation de Fourier qualitativement, réagit aux propriétés des fonctions sur, ou des distributions sur lesquelles elle opère.
